《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

24. (12 分)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：$3 + 2\sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^2$. 善于思考的小明进行了以下探索：
设$a + b\sqrt{2} = (m + n\sqrt{2})^2$(其中 $a$，$b$，$m$，$n$ 均为整数)，则有$a + b\sqrt{2} = m^2 + 2n^2 + 2mn\sqrt{2}$.
$\therefore a = m^2 + 2n^2$，$b = 2mn$. 这样小明就找到了一种把形如$a + b\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1) 当 $a$，$b$，$m$，$n$ 均为正整数时，若$a + b\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^2$，用含 $m$，$n$ 的式子分别表示 $a$，$b$，得 $a =$$m^2+3n^2$，$b =$$2mn$；
(2) 利用所探索的结论，找一组正整数 $a$，$b$，$m$，$n$，填空：13$+$4$\sqrt{3} = ($1$+$2$\sqrt{3})^2$；
(3) 若$a + 4\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^2$，且 $a$，$b$，$m$，$n$ 均为正整数，求 $a$ 的值.

答案： 24.
(1)$\because a + b\sqrt{3}=(m + n\sqrt{3})^2$,
$\therefore a + b\sqrt{3}=m^2+3n^2+2mn\sqrt{3}$,
$\therefore a=m^2+3n^2,b = 2mn$.
故答案为$m^2+3n^2,2mn$.
(2)设$m = 1,n = 2$,
$\therefore a=m^2+3n^2=13,b = 2mn = 4$.
故答案为13,4,1,2(答案不唯一).
(3)由题意,得$a=m^2+3n^2,b = 2mn$.
$\because4 = 2mn$,且$m,n$为正整数,
$\therefore m = 2,n = 1$或$m = 1,n = 2$,
$\therefore a=2^2+3×1^2=7$,或$a=1^2+3×2^2=13$.