《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

1.将一元二次方程$(2x - 1)(x + 2)=3$化成一般形式，正确的是
(A)

A.$2x^{2}+3x - 5 = 0$
B.$2x^{2}+3x + 1 = 0$
C.$2x^{2}-3x - 5 = 0$
D.$2x^{2}+3x - 2 = 3$

答案： 1.A

2.某商品经过两次连续降价，每件的售价由原来的$55$元降到了$35$元.设平均每次降价的百分率为$x$，则下列方程正确的是
(C)

A.$55(1 + x)^{2}=35$
B.$35(1 + x)^{2}=55$
C.$55(1 - x)^{2}=35$
D.$35(1 - x)^{2}=55$

答案： 2.C

3.已知关于$x$的方程$(a - 3)x^{2}+\sqrt{a - 1}x = 3$为一元二次方程，则$a$的取值范围是$a \geq 1$ 且 $a \neq 3$.

答案： 3.$a \geq 1$ 且 $a \neq 3$

4.[易错题]若方程$(m + 1)x^{|m - 1|}+mx + 2 = 0$是关于$x$的一元二次方程，则$m =$3.

答案： 4.3

5.若关于$x$的方程$(a - 3)x^{a^{2}-7}=4$是一元二次方程，求$a$的值.

答案： 5.将原方程化成一元二次方程的一般形式，得：
$(a - 3)x^{a^2 - 7} - 4 = 0$，
则$a^2 - 7 = 2$，且$a - 3 \neq 0$，解得$a = -3$。

6.已知$a$是方程$2x^{2}-3x - 7 = 0$的一个根，求代数式$(a + 1)(a - 1)+3a(a - 2)$的值.

答案： 6.$\because a$是方程$2x^2 - 3x - 7 = 0$的一个根，
$\therefore 2a^2 - 3a - 7 = 0$，
$\therefore 2a^2 - 3a = 7$，
$\therefore (a + 1)(a - 1) + 3a(a - 2)$
$= a^2 - 1 + 3a^2 - 6a$
$= 4a^2 - 6a - 1$
$= 2(2a^2 - 3a) - 1$
$= 2 × 7 - 1$
$= 13$。

7.已知关于$x$的方程$(m - 1)x^{m^{2}+1}+(m - 2)x - 1 = 0$，回答下面的问题：
(1)若此方程是一元二次方程，求$m$的值.
(2)若此方程是一元一次方程，则$m$的值是否存在？若存在，请求出$m$的值，并求出方程的解.

答案： 7.
(1)根据题意，得$m^2 + 1 = 2$，且$m - 1 \neq 0$，
解得$m = -1$。
(2)有以下两种情况：
①当满足$m^2 + 1 = 1$，
且$(m - 1) + (m - 2) \neq 0$时，
解得$m = 0$，
则原方程可化为$-3x - 1 = 0$，
解得$x = -\frac{1}{3}$；
②当满足$m - 1 = 0$，且$m - 2 \neq 0$时，解得$m = 1$，
则原方程可化为$-x - 1 = 0$，解得$x = -1$。

8.已知关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$.
(1)若$a + c = -b$，求证：$x = 1$必是该方程的一个根；
(2)若方程有一根是$x = -1$，求此时$a$，$b$，$c$之间的关系.

答案： 8.
(1)由$a + c = -b$得$a + b + c = 0$，
故当$x = 1$时，
$ax^2 + bx + c = a × 1^2 + b × 1 + c = a + b + c = 0$，
所以$x = 1$必是该方程的一个根。
(2)当$x = -1$时，代入方程得$a - b + c = 0$，
所以$a,b,c$之间的关系为$a - b + c = 0$。