《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

1. 若二次函数$y = x^{2} + \frac{1}{2}$与$y = -x^{2} + k$的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是 (C)

A.这两个函数图象有相同的对称轴
B.这两个函数图象的开口方向相反
C.方程$-x^{2} + k = 0$没有实数根
D.二次函数$y = -x^{2} + k$的最大值为$\frac{1}{2}$

答案： 1.C

2. 抛物线$y = x^{2} + 3$上有两点$A(x_{1}, y_{1})$，$B(x_{2}, y_{2})$，若$y_{1} ＜ y_{2}$，则下列结论正确的是 (D)

A.$0 \leq x_{1} ＜ x_{2}$
B.$x_{2} ＜ x_{1} \leq 0$
C.$x_{2} ＜ x_{1} \leq 0$或$0 \leq x_{1} ＜ x_{2}$
D.以上都不对

答案： 2.D

3. 若二次函数$y = (m + 1)x^{2} + m^{2} - 2m - 3$的图象经过原点，则$m$的值为 (C)

A.$-1$或$3$
B.$-1$
C.$3$
D.无法确定

答案： 3.C

4. [新考向] 写出一个开口向上，顶点坐标为$(0, -4)$的抛物线的表达式：

答案： 4.$y=3x^{2}-4$(答案不唯一)

5. 如果抛物线$y = (3 - m)x^{2} - 3$有最高点，那么$m$的取值范围是$m＞3$

答案： 5.$m＞3$

6. 如图，抛物线$y = ax^{2} - 4$和$y = -ax^{2} + 4$都经过$x$轴上的$A$，$B$两点，两条抛物线的顶点分别为$C$，$D$.当四边形$ACBD$的面积为$40$时，$a$的值为_______

答案： 6.0.16

7. [新趋势] 已知二次函数$y = x^{2} + 5$，当$-1 \leq x \leq 2$时，求函数$y$的最小值和最大值.小王的解答过程如下：
解：当$x = -1$时，$y = 6$；当$x = 2$时，$y = 9$.所以函数$y$的最小值为$6$，最大值为$9$.
小王的解答过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程.

答案： 7.不正确.正确的解答过程如下：
$\because$抛物线$y=x^{2}+5$的开口向上，对称轴是直线$x=0$，
$\therefore$当$-1\leqslant x\leqslant0$时，$y$随$x$的增大而减小，
当$0＜x\leqslant2$时，$y$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x=0$时，$y$取得最小值，为$5$.
又$\because$当$x=-1$时，$y=6$；当$x=2$时，$y=9$.
$\therefore$当$x=2$时，$y$取得最大值，为$9$.
综上，当$-1\leqslant x\leqslant2$时，函数$y$的最小值是$5$，最大值是$9$.

8. 已知函数$y = (m + 3)x^{m^{2} + 4m - 3} + 5$是关于$x$的二次函数.
(1)求$m$的值；
(2)函数图象上的两点$A(1,y_{1})$，$B(5,y_{2})$，若满足$y_{1} ＞ y_{2}$，则此时$m$的值是多少？

答案： 8.
(1)$\because$函数$y=(m+3)x^{m^{2}+4m-3}+5$是关于$x$的二次函数，
$\begin{cases}m+3\neq0,\\m^{2}+4m-3=2,\end{cases}$
解得$m=1$或$m=-5$.
(2)$\because$该函数图象的对称轴为$y$轴，点$A(1,y_{1})$，
$B(5,y_{2})$，且$y_{1}＞y_{2}$，
$\therefore$在对称轴右边，$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore m+3＜0$，解得$m＜-3$，
$\therefore m=-5$.