《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

10. 已知二次函数图象的对称轴是直线$x = 2$，函数的最小值为$3$，且图象经过点$(-1,5)$，则此二次函数的表达式是
$y = \frac{2}{9}x^2 - \frac{8}{9}x + \frac{35}{9}$.

答案： 10.$y = \frac{2}{9}x^2 - \frac{8}{9}x + \frac{35}{9}$

11. (2024 内江)已知二次函数$y = x^2 - 2x + 1$的图象向左平移$2$个单位得到抛物线$C$，点$P(2,y_1)$，$Q(3,y_2)$在抛物线$C$上，则$y_1$＜$y_2$.(填“$＞$”或“$＜$”)

答案： 11.$＜$

12. 如图，已知矩形$ABCD$的四个顶点分别在抛物线$y_1 = \sqrt{2}x^2$，$y_2 = -\sqrt{2}x^2$上，且矩形各边与坐标轴平行，点$A$的横坐标为$-1$，则阴影部分的面积是
$\sqrt{2}$.

答案： 12.$\sqrt{2}$

13. 炮弹从炮口射出后，飞行的高度$h(m)$与飞行时间$t(s)$之间的关系是$h = v_0 t \sin \alpha - 5t^2$，其中$v_0$是炮弹发射的初速度，$\alpha$是炮弹的发射角.当$v_0 = 300 m/s$，$\sin \alpha = \frac{1}{2}$时，炮弹飞行的最大高度是
1125$ m$.

答案： 13.1125

14. 已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a \neq 0)$的图象如图所示，则有以下$5$个结论：①$abc ＜ 0$；②$b^2 ＜ 4ac$；③$b = -2a$；④$a - b + c ＞ 0$；⑤对于任意实数$m$，总有$am^2 + bm \leq a + b$.其中正确的结论是
①③⑤(填序号).

答案： 14.①③⑤

15. （6分）若抛物线$y = a(x + 1)^2 + b$和抛物线$y = 2x^2$的形状相同，且经过点$(2,3)$，求$a$，$b$的值.

答案： 15.$a = 2,b = -15$,或$a = -2,b = 21$.

16. （6分）当$k$为何值时，函数$y = (k - 1)x^{k^2 + k} + 1$为二次函数？

答案： 16.$k = -2$.