《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

17. （6分）已知关于$x$的一元二次方程$(2m+1)x^{2}+4mx+2m-3=0$.
(1)当$m=\frac{1}{2}$时，求方程的实数根；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求实数$m$的取值范围.

答案： 17.
(1)当$m=\frac{1}{2}$时，方程为2x² + 2x - 2 = 0，
即x² + x - 1 = 0，
Δ = b² - 4ac = 1 - 4×(-1) = 5 ＞ 0，
$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}，$
∴$x₁=\frac{-1 - \sqrt{5}}{2},x₂=\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}。$
(2)Δ = b² - 4ac
= 16m² - 4(2m + 1)(2m - 3)
= 16m + 12，
由Δ ＞ 0解得$m ＞ -\frac{3}{4}，$
又2m + 1 ≠ 0，则$m ≠ -\frac{1}{2}，$
∴m的取值范围为$m ＞ -\frac{3}{4}$且$m ≠ -\frac{1}{2}。$

18. （7分）解方程：
(1)$x(x-4)-4+x=0$；
(2)$3x^{2}=4x+1$.

答案： 18.
(1)原方程整理得x(x - 4) + (x - 4) = 0，
则(x + 1)·(x - 4) = 0，
解得x₁ = -1,x₂ = 4.
(2)原方程整理成一般形式为3x² - 4x - 1 = 0，
∴a = 3,b = -4,c = -1，
∵Δ = 16 - 4×3×(-1) = 28 ＞ 0，
∴$x=\frac{4 \pm \sqrt{28}}{6}=\frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6}=\frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}，$
∴$x₁=\frac{2 + \sqrt{7}}{3},x₂=\frac{2 - \sqrt{7}}{3}。$