《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

1.下列函数中，$y$ 关于 $x$ 的二次函数是 (B)

A.$y = ax^2 + bx + c$
B.$y = x(x - 1)$
C.$y = \frac{1}{x^2}$
D.$y = (x - 1)^2 - x^2$

答案： 1.B

2. 如图，在 $Rt \triangle ABO$ 中，$AB \perp OB$，且 $AB = OB = 3$，设直线 $x = t$ 截此三角形所得的阴影部分的面积为 $S$，则 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式为 (B)

A.$S = t$
B.$S = \frac{1}{2}t^2(0 ＜ t \leq 3)$
C.$S = t^2$
D.$S = \frac{1}{2}t^2 - 1$

答案： 2.B

3. 若 $y = (m - 3)x^2 + 5x - 1$ 是二次函数，则 $m$ 的取值范围是$m \neq 3$.

答案： 3.$m \neq 3$

4. 三角形的一边长为 $x$，此边上的高比 $x$ 的 $2$ 倍少 $1$，则三角形的面积 $y$ 与 $x$ 之间的关系式为$y = x^2 - \frac{1}{2}x$.

答案： 4.$y = x^2 - \frac{1}{2}x$

5. 在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙(墙长 $15 m$)的空地上修建一个矩形花园 $ABCD$，如图所示，花园的一边靠墙，另三边用总长为 $40 m$ 的栅栏围成. 若设花园平行于墙的一边的长为 $x m$，花园的面积为 $y m^2$，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围.

答案： $5.\because $栅栏的总长为40 m，BC的长为x m，
$\therefore AB$的长为$ \frac{40 - x}{2} m.$
由$ \begin{cases} 0 $＜ x \leq 15, \\ \frac{40 - x}{2} ＞$ 0, \end{cases} $可得$ 0 ＜ x \leq 15.$
根据矩形的面积公式得$ y = x · \frac{40 - x}{2}$
即$ y = - \frac{1}{2}x^2 + 20x，$
故 y 与 x 之间的函数关系式为$ y = - \frac{1}{2}x^2 + 20x，$
自变量 x 的取值范围为$ 0 ＜ x \leq 15.$

6. 如图，$\triangle ABC$ 与 $\triangle DEF$ 是两个全等的等腰直角三角形，$BC = EF = 8$，$\angle C = \angle F = 90°$，且点 $C, E, B, F$ 在同一条直线上，将 $\triangle ABC$ 沿射线 $CB$ 方向平移，直到点 $C$ 与点 $E$ 重合，$AB$ 边与 $DE$ 边相交于点 $P$，设 $CE = x$，$\triangle PBE$ 的面积为 $S$.
(1) 求 $S$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
(2) 当 $x = 3$ 时，求 $\triangle PBE$ 的面积.

答案： $6.(1)\because CE = x，$BC = 8，
$\therefore EB = 8 - x.$
$\because \triangle ABC $与$ \triangle DEF $是两个全等的等腰直角三角形，$\angle C = \angle F = 90°，$
$\therefore \angle ABC = \angle DEF = 45°，$
$\therefore \triangle PBE $是等腰直角三角形，$\angle EPB = 90°，$
$\therefore PB = PE = \frac{\sqrt{2}}{2} EB = \frac{\sqrt{2}}{2}(8 - x)，$
$\therefore S = \frac{1}{2} PB · PE = \frac{1}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2}(8 - x) × \frac{\sqrt{2}}{2}(8 - x) =$
$\frac{1}{4}(8 - x)^2 = \frac{1}{4}x^2 - 4x + 16，$
即$ S = \frac{1}{4}x^2 - 4x + 16(0 \leq x ＜ 8).$
(2)当 x = 3 时，$S = \frac{1}{4} × (8 - 3)^2 = \frac{25}{4}$
即当 x = 3 时，$\triangle PBE $的面积为$ \frac{25}{4}.$