《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

22. （9分）在$\triangle ABC$中，$P$是$AB$上的动点（$P$异于$A$，$B$），过点$P$的直线截$\triangle ABC$，使截得的三角形与$\triangle ABC$相似，我们不妨称这种直线为过点$P$的$\triangle ABC$的相似线，简记为$P(l_{x})$（$x$为正整数）.
(1)如图①，$\angle A = 90^{\circ}$，$\angle B = \angle C$，当$BP = 2PA$时，$P(l_{1})$，$P(l_{2})$都是过点$P$的$\triangle ABC$的相似线（其中$l_{1}\perp BC$，$l_{2}// AC$），此外，还有 条；
(2)如图②，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B =$$30^{\circ}$，当$\frac{BP}{BA} =$ 时，$P(l_{x})$截得的三角形面积为$\triangle ABC$面积的$\frac{1}{4}$.

答案：
(1)1.
(2)$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{4}$或$\frac{\sqrt{3}}{4}$.