《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

1. 数学课上，小明在平面直角坐标系内画出了某二次函数图象的一部分，如图所示，则该二次函数的表达式为
(A)

A.$y = \frac{4}{5}x^{2} + \frac{8}{5}x - 1$
B.$y = -\frac{4}{5}x^{2} + \frac{8}{5}x - 1$
C.$y = \frac{4}{5}x^{2} - \frac{8}{5}x + 1$
D.$y = -\frac{4}{5}x^{2} - \frac{8}{5}x + 1$

答案： 1.A

2. 已知二次函数$y = ax^{2} + bx + c$，自变量$x$与函数值$y$的部分对应值如下表：

则这个二次函数的表达式为$y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + x + \frac { 7 } { 2 }$.

答案： 2.$y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + x + \frac { 7 } { 2 }$

3. 函数$y = x^{2} - 2ax - 2$在$-1 \leq x \leq 4$时有最小值$-5$，则实数$a$的值是$-2$或$\sqrt { 3 }$.

答案： 3.$-2$或$\sqrt { 3 }$

4. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线$x = -1$，且图象经过点$(-3,0)$和$(0,3)$，求这个二次函数的表达式.

答案： 4.由题意，知二次函数的图象的对称轴为直线$x =$
$- 1$，且过点$( - 3,0)$，$(0,3)$。
设二次函数的表达式为$y = a ( x + 1 ) ^ { 2 } + k$，
将$( - 3,0)$，$(0,3)$分别代入，
得$\begin{cases}4a + k = 0,\\a + k = 3.\end{cases}$解得$\begin{cases}a = - 1,\\k = 4.\end{cases}$
$\therefore y = - ( x + 1 ) ^ { 2 } + 4 = - x ^ { 2 } - 2 x + 3$。

5. (2024 福建)如图，已知二次函数$y = x^{2} + bx + c$的图象与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，其中$A(-2,0)$，$C(0,-2)$.
(1)求二次函数的表达式；
(2)若$P$是二次函数图象上的一点，且点$P$在

第

二象限，线段$PC$交$x$轴于点$D$，$\triangle PDB$的面积是$\triangle CDB$的面积的$2$倍，求点$P$的坐标.

答案： 5.
(1)将$A( - 2,0)$，$C(0, - 2)$代入$y = x ^ { 2 } + b x +$
$c$，得$\begin{cases}4 - 2b + c = 0,\\c = - 2.\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = 1,\\c = - 2.\end{cases}$
所以二次函数的表达式为$y = x ^ { 2 } + x - 2$。
(2)设$P(m,n)$，因为点$P$在第二象限，
所以$m ＜ 0$，$n ＞ 0$。
依题意，得$\frac { S$_________${ \triangle P D B } } { S$_________${ \triangle C D B } } = 2$，
所以$\frac { \frac { 1 } { 2 } B D · n } { \frac { 1 } { 2 } B D · C O } = 2$，
所以$\frac { n } { C O } = 2$。
由已知，得$C O = 2$，
所以$n = 2 C O = 4$。
由$m ^ { 2 } + m - 2 = 4$，
解得$m$_________${ 1 } = - 3$，$m$_________${ 2 } = 2$(舍去)，
所以点$P$的坐标为$( - 3,4)$。