《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

1.直角三角形的两条直角边长分别是5和12，则第三条边上的中线长为

A.5
B.6
C.6.5
D.13

答案： 1.C

2.如图，在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle ACB = 90°$，$\angle A = 30°$，$AB = 4$，$CD \perp AB$于点$D$，$E$是$AB$的中点，则$DE$的长为

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 2.A

3.如图，在等腰三角形$ABC$中，$AB = AC = 4$，$\angle BAC = 30°$，$D$是$BC$边上任意一点，过点$D$作$DE \perp AB$于点$E$，$DF \perp AC$于点$F$，则$DE + DF$的值为2.

答案： 3.2

4.如图，$\angle MON = 90°$，已知$\bigtriangleup ABC$中，$AC = BC = 10$，$AB = 12$，$\bigtriangleup ABC$的顶点$A$，$B$分别在射线$OM$，$ON$上，当点$B$在$ON$上运动时，点$A$随之在$OM$上运动，$\bigtriangleup ABC$的形状始终保持不变，在运动的过程中，点$C$到点$O$的最小距离为2.

答案： 4.2

5.如图所示，在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90°$，$\angle B = 30°$，$\angle ADC = 60°$，$BD = 10$，求$CD$的长.

答案： 5.
∵$\angle B=30°$，$\angle ADC=60°$，
$\therefore \angle BAD=\angle ADC - \angle B=30°$，
$\therefore AD=BD=10$。
∵$\angle C=90°$，$\angle DAC=30°$，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AD=5$。

6.如图，$\bigtriangleup ABC$是等边三角形，$BD$是$AC$边上的高，延长$BC$至$E$，使$CE = CD$.
(1)求证：$DB = DE$；
(2)过点$D$作$DF$垂直$BE$，垂足为$F$，若$CF = 3$，则$\bigtriangleup ABC$的周长为36.

答案： 6.
(1)
∵$\triangle ABC$是等边三角形，BD是AC边上的高，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB=60°$，
$\therefore \angle ABD=\angle CBD=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
∵$CE=CD$，$\therefore \angle CDE=\angle CED$。
∵$\angle ACB=\angle CDE+\angle CED$，
$\therefore \angle CED=\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{1}{2}×60°=30°$，
即$\angle BED=30°$，
$\therefore \angle CBD=\angle BED=30°$，
$\therefore DB=DE$。
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