《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

24. (12分)如图，$AD$是$\triangle ABC$的中线，点$E$是$AD$上一点，过点$E$作$AC$的平行线，过点B作AD的平行线，两平行线交于点$F$，连结$AF$.
【方法感知】如图①，当点$E$与点$D$重合时，易证:$\triangle AEC \cong \triangle FBE$.(不需证明)
【探究证明】如图②，当点$E$与点$D$不重合时，求证:四边形$ACEF$是平行四边形.
小新同学受到【方法感知】中的启发，经过思考后延长$CE$交$BF$于点$M$.请完成小新同学的证明过程.
【结论应用】如图③，当$CA \perp AB$，$\angle ABC = 30°$时，$CE$的延长线交$AB$于点$N$，且点$N$为$AB$中点.
(1)$\frac{NG}{GA} =$$\frac{1}{2}$;
(2)当$AC = 2$时，$BF$的长为$\frac{8}{3}$.

答案： 【探究证明】如图，
∵D是BC的中点，AD//BF，
∴CE = EM，∠AEC = ∠FME，
∵AC//EF，
∴∠ACE = ∠FEM，
在△AEC和△FME中，$\begin{cases}\angle ACE = \angle FEM,\\CE = EM,\\\angle AEC = \angle FME.\end{cases}$
∴△AEC≌△FME，
∴AC = EF，
∵AC//EF，
∴四边形ACEF是平行四边形。
【结论应用】
(1)$\frac{1}{2}$
(2)$\frac{8}{3}$