《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

1. [新考向]对于实数$a,b$定义运算“$\otimes$”: $a \otimes b = b^2 - ab$，例如：$3 \otimes 2 = 2^2 - 3 × 2 = -2$.则关于$x$的方程$(k - 3) \otimes x = k - 1$的根的情况，下列说法正确的是

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： 1.A

2. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - abx + a + b = 0$，其中$a$，$b$在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是

A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.有两个实数根

答案： 2.C

3. 关于$x$的一元二次方程$(m - 5)x^2 + 2x + 2 = 0$有实数根，则$m$的最大整数值是

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 3.C

4. (2024 新疆)若关于$x$的一元二次方程$x^2 + 3x + k = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是k＜\frac{9}{4}.

答案： $4.k＜\frac{9}{4}$

5. 已知关于$x$的一元二次方程$2x^2 - 3x + m = 0(m$是正整数)有实数根，则代数式$m^2 - 3m + 2$的值是0.

答案： 5.0

6. 若方程$x^2 + mx + 1 = 0$和$x^2 + x + m = 0$有公共根，则常数$m$的值是-2.

答案： 6.-2

7. 已知关于$x$的方程$(m - 1)x^2 + (2m - 1)x + m + 4 = 0$有两个不相等的实数根，求$m$的取值范围.

答案： $7.m＜\frac{17}{16}$且$m\neq1.$

8. 已知关于$x$的方程$x^2 + bx + c = 0$有两个相等的实数根，且$b = c - 3$，求$b$，$c$的值.

答案： 8.b=6,c=9，或b=-2,c=1.

9. 如果$a^2 + b^2 = c^2$，那么把形如$ax^2 + \sqrt{2}cx + b = 0(a \neq 0)$的方程称为“勾系方程”.
(1)当$a = 3$，$b = 4$时，写出相应的“勾系方程”：$3x^{2}+5\sqrt{2}x + 4 = 0$或$3x^{2}-5\sqrt{2}x + 4 = 0$；
(2)求证：关于$x$的“勾系方程”$ax^2 + \sqrt{2}cx + b = 0(a \neq 0)$必有实数根.

答案： $9.(1)3x^{2}+5\sqrt{2}x + 4 = 0$或$3x^{2}-5\sqrt{2}x + 4 = 0$
$(2)\because a\neq0,\Delta = (\sqrt{2}c)^{2}-4ab=2c^{2}-4ab=2(a^{2}$
$+b^{2})-4ab=2(a - b)^{2}\geq0，$
$\therefore$关于x的“勾系方程$”ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0(a\neq$
0)必有实数根.