《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

1. 若一元二次方程$x^{2}-x - 2 = 0$的两个根为$x_{1},x_{2}$，则$(1 + x_{1}) + x_{2}(1 - x_{1})$的值是
(A)

A.4
B.2
C.1
D.-2

答案： 1.A

2. 已知$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-3x + 1 = 0$的两个根，则$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$的值为 (C)

A.9
B.8
C.7
D.3

答案： 2.C

3. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分四边形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$
的长度是关于$x$的一元二次方程$x^{2}+px + q = 0$的两个实数根，则四边形$ABCD$的
面积可以表示为
(D)

A.$p$
B.$\frac{p}{2}$
C.$q$
D.$\frac{q}{2}$

答案： 3.D

4. 关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(a^{2}-2a)x + a - 1 = 0$有两个实数根，且它们互为相反数，则$a$的值为0.

答案： 4.0

5. (2024山东烟台)若一元二次方程$2x^{2}-4x - 1 = 0$的两根为$m$，$n$，则$3m^{2}-4m + n^{2}$的值为6.

答案： 5.6

6. 已知方程$2x^{2}+kx - 2k + 1 = 0$的两个实数根的平方和为$\frac{29}{4}$，则$k$的值为3.

答案： 6.3

7. 已知$\alpha$，$\beta$是一元二次方程$2x^{2}-3x - 1 = 0$的两个实数根，求下列代数式的值：
(1)$(\alpha - \beta)^{2}$；
(2)$\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}$.

答案： 7.$\alpha +\beta =\frac {3}{2},\alpha\beta =-\frac {1}{2}$
(1)$(\alpha -\beta)^ {2}=(\alpha +\beta)^ {2}-4\alpha\beta =\frac {9}{4}+4×\frac {1}{2}=\frac {17}{4}$
(2)$\frac {\beta }{\alpha }+\frac {\alpha }{\beta }=\frac {(\alpha +\beta)^ {2}-2\alpha\beta }{\alpha\beta }=\frac {\frac {9}{4}+1}{\frac {1}{2}}=\frac {13}{2}$

8. 关于$x$的一元二次方程$x^{2}+mx - 1 = 0$，当$m = 1$时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是
黄金分割数的矩形叫做黄金矩形.希腊的帕特农神庙采用的就是黄金矩形的设计，我国著名数学家
华罗庚的优选法中也应用了黄金分割数.
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数$a$，$b$满足$a^{2}+ma = 1$，$b^{2}-2mb = 4$且$b\neq - 2a$，求$ab$的值；
(3)已知两个不相等的实数$p$，$q$满足$p^{2}+np - 1 = q$，$q^{2}+nq - 1 = p$，求$pq - n$的值.

答案： 8.
(1)将$m=1$代入$x^ {2}+mx-1=0$，
得$x^ {2}+x-1=0$，
解得$x_ {1}=\frac {-1+\sqrt {5}}{2},x_ {2}=\frac {-1-\sqrt {5}}{2}$
∵黄金分割数大于0，
∴黄金分割数为$\frac {-1+\sqrt {5}}{2}$
(2)
∵$b^ {2}-2mb=4$，
∴$b^ {2}-2mb-4=0$，
∴$(\frac {-b}{2})^ {2}+m·(\frac {-b}{2})-1=0$
又
∵$b\neq-2a$
∴$a$和$\frac {-b}{2}$是方程$x^ {2}+mx-1=0$的两个根
∴$a·(\frac {-b}{2})=-1$，
∴$ab=2$
(3)
∵$p^ {2}+np-1=q,q^ {2}+nq-1=p$
∴$(p^ {2}+q^ {2})+n(p+q)-2=p+q$
$(p^ {2}-q^ {2})+n(p-q)=q-p$
∴$(p+q)^ {2}-2pq+n(p+q)-2=p+q$
$(p-q)(p+q+n+1)=0$
∵$p,q$为两个不相等的实数，
∴$p-q\neq0$
∴$p+q=-n-1$
又
∵$(p+q)^ {2}-2pq+n(p+q)-2=p+q$
∴$(-n-1)^ {2}-2pq+n(-n-1)-2=-n-1$
∴$pq-n=0$