《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

1.函数$y = ax + a$和$y = ax^{2}$在同一直角坐标系中的图象大致是
(A)


A.
B.
C.
D.

答案： 1.A

2.如图，若抛物线$y = ax^{2}$与四条直线$x = 1$,$x = 2$,$y = 1$,$y = 2$围成的正方形$ABCD$有公共点，则$a$的取值范围是
(D)

A.$\frac{1}{4} \leqslant a \leqslant 1$
B.$\frac{1}{2} \leqslant a \leqslant 2$
C.$\frac{1}{2} \leqslant a \leqslant 1$
D.$\frac{1}{4} \leqslant a \leqslant 2$

答案： 2.D

3.如图，①$y = ax^{2}$,②$y = bx^{2}$,③$y = cx^{2}$,④$y = dx^{2}$.比较$a$,$b$,$c$,$d$的大小：$a＞b＞d＞c$.(用“$＞$”连结)

答案： 3.$a＞b＞d＞c$

4.若点$A(1,m)$在抛物线$y = -x^{2}$上，则点$A$关于$y$轴对称的点的坐标是$(-1,-1)$.

答案： 4.$(-1,-1)$

5.已知函数$y = mx^{m^{2} + m}$的图象是开口向下的抛物线，求$m$的值，并指出它的顶点坐标和对称轴.

答案： 5.$m = -2$，顶点坐标是$(0,0)$，对称轴是$y$轴.

6.如图，点$A(-2,2)$和$B(2,m)$在抛物线$y = ax^{2}$上.
(1)求抛物线对应的函数关系式和$m$的值.
(2)在抛物线上是否存在一点$C$，使$\bigtriangleup ABC$的面积等于$\bigtriangleup AOB$面积的一半？如果存在，请你求出点$C$的坐标；如果不存在，请说明理由.

答案： 6.
(1)把$(-2,2)$代入抛物线对应的函数关系式$y = ax^{2}$，得$2 = a×(-2)^{2}$，解得$a = \frac{1}{2}$，
$\therefore y = \frac{1}{2}x^{2}$
把$(2,m)$代入$y = \frac{1}{2}x^{2}$，得$m = \frac{1}{2}×2^{2} = 2$.
(2)$\because$点$A(-2,2),B(2,2)$，
$\therefore AB = 4,\therefore S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}×4×2 = 4$.
假设存在满足条件的点$C(p,q)$.
由题意知$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}S_{\triangle AOB}$，
即$\frac{1}{2}×4×|2 - q| = \frac{1}{2}×4$.
解得$q_{1} = 1,q_{2} = 3$.
将$(p,1)$代入$y = \frac{1}{2}x^{2}$，
得$p_{1} = \sqrt{2},p_{2} = -\sqrt{2}$；
将$(p,3)$代入$y = \frac{1}{2}x^{2}$，
得$p_{3} = \sqrt{6},p_{4} = -\sqrt{6}$.
$\therefore$存在点$C_{1}(\sqrt{2},1),C_{2}(-\sqrt{2},1),C_{3}(\sqrt{6},3),C_{4}(-\sqrt{6},3)$满足条件.