《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

1. 如图，$PA$，$PB$是$\odot O$切线，$A$，$B$为切点，点$C$在$\odot O$上，且$\angle ACB = 55^{\circ}$，则$\angle APB$等于 (B)

A.$55^{\circ}$
B.$70^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$125^{\circ}$

答案： 1.B

2. (2024泸州)如图，$EA$，$ED$是$\odot O$的切线，切点分别为$A$，$D$，点$B$，$C$在$\odot O$上.若$\angle BAE + \angle BCD = 236^{\circ}$，则$\angle E$等于 (C)

A.$56^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$68^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

答案： 2.C

3. 如图，$PA$，$PB$切$\odot O$于点$A$，$B$，$PA = 10\ cm$，$CD$切$\odot O$于点$E$，交$PA$，$PB$于点$C$，$D$，则$\triangle PCD$的周长是20cm.

答案： 3.20cm

4. 小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走$9$里到达城堡边，再往前走$6$里到达树下.则该城堡的外围直径为9里.

答案： 4.9

5. 如图，$PA$，$PB$分别与$\odot O$相切于点$A$，$B$，$\odot O$上有一点$C$，已知点$A$，$B$，$C$三等分$\odot O$，$\angle P = 60^{\circ}$.
求证：四边形$PACB$是菱形.

答案：
5.如图，连结AB，

∵点A，B，C三等分⊙O，
∴$\stackrel\frown{AC}=\stackrel\frown{CB}=\stackrel\frown{BA}$，
∴AC=BC=AB。
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴PA=PB。
又
∵∠P = 60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴PA=AB=PB，
∴PA=AC=CB=BP，
∴四边形PACB是菱形。

6. 如图，已知$PA$和$PB$分别与$\odot O$相切于$A$，$B$两点，作直径$AC$并延长，交$PB$的延长线于点$D$.连结$OP$，$CB$.
（1）求证：$OP// CB$；
（2）若$PA = 6$，$DB:DC = 2:1$，求$\odot O$的半径.

答案： 6.提示：
(1)连结OB，AB，证明略。
(2)由OP//CB，得DB:DC=DP:DO，得⊙O的半径为3。