《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

23. (10分)课堂上，数学老师组织同学们围绕关于$x$的二次函数$y = x^{2} + 2ax + a - 3$的最值问题展开
探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
(1)老师给出$a = - 4$，求二次函数$y = x^{2} + 2ax + a - 3$的最小值.
①请你写出对应的函数表达式；
②求当$x$取何值时，函数$y$有最小值，并写出此时的$y$值.
【举一反三】老师给出更多$a$的值，同学们求出对应的函数在$x$取何值时，$y$的最小值.记录结果，
并整理成下表：

注：$*$为②的计算结果.
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.”
甲同学：“我发现，老师给了$a$值后，我们只要取$x = - a$，就能得到$y$的最小值.”
乙同学：“我发现，$y$的最小值随$a$值的变化而变化，当$a$由小变大时，$y$的最小值先增大后减小，所以我猜想$y$的最小值中存在最大值.”
(2)请结合函数表达式$y = x^{2} + 2ax + a - 3$，解释甲同学的说法是否合理.
(3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由.

答案： 23.
(1)①$y = x ^ { 2 } - 8 x - 7$.
②$y = x ^ { 2 } - 8 x - 7 = ( x - 4 ) ^ { 2 } - 2 3$，
$\therefore$当$x = 4$时，$y$的最小值为-23.
(2)甲同学的说法是合理的.理由：
老师给了$a$值后，由$y = x ^ { 2 } + 2 a x + a - 3$可知，
关于$x$的二次函数图象开口向上，对称轴为直
线$x = - a$，
$\therefore$当$x = - a$时，$y$得到最小值.
所以甲同学的说法是合理的.
(3)乙同学的猜想是正确的.
由
(2)可知，当$x = - a$时，
$y$的最小值为$( - a ) ^ { 2 } + 2 a ( - a ) + a - 3 = - a ^ { 2 }+ a - 3 = - ( a - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 1 } { 4 }$
$\because - ( a - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } \leq 0$，
$\therefore - ( a - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 1 } { 4 } \leq - \frac { 1 1 } { 4 }$，
$\therefore$所求的最大值为$- \frac { 1 1 } { 4 }$.