《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

1.(2024重庆B卷)如图，$AB$是$\odot O$的弦，$OC\perp AB$交$\odot O$于点$C$，点$D$是$\odot O$上一点，连结$BD$，$CD$.若$\angle D = 28^{\circ}$，则$\angle OAB$的度数为
(B)

A.$28^{\circ}$
B.$34^{\circ}$
C.$56^{\circ}$
D.$62^{\circ}$

答案： 1.B

2.(2024湖南)如图，半径为$5$的$\odot A$中，弦$BC$，$ED$所对的圆心角分别是$\angle BAC$，$\angle EAD$，若$DE = 6$，$\angle BAC + \angle EAD = 180^{\circ}$，则弦$BC$的长为(A)

A.$8$
B.$10$
C.$11$
D.$12$

答案： 2.A

3. 如图，$\bigtriangleup ABC$内接于圆，点$D$在$BC$上，记$\angle BAC - \angle BCD = \alpha$，则图中等于$\alpha$的角是$\angle DAC$.

答案： 3.$\angle DAC$

4. 如图，$AB$是$\odot O$的一条弦，点$C$是$\odot O$上一动点，且$\angle ACB = 30^{\circ}$，点$E$，$F$分别是$AC$，$BC$的中点，直线$EF$与$\odot O$交于$G$，$H$两点.若$\odot O$的半径是$7$，则$GE + FH$的最大值是_______

答案： 4.10.5

5. 如图，已知点$A$，$B$，$C$，$D$，$E$在$\odot O$上，$CE$平分$\angle ACB$.求证：$DE$平分$\angle ADB$.

答案： 5.提示：$\angle BDE = \angle BCE = \angle ACE = \angle ADE$.

6.(2024安徽)如图，$\odot O$是$\bigtriangleup ABC$的外接圆，$D$是直径$AB$上一点，$\angle ACD$的平分线交$AB$于点$E$，交$\odot O$于另一点$F$，$FA = FE$.
(1)求证：$CD\perp AB$；
(2)设$FM\perp AB$，垂足为$M$，若$OM = OE = 1$，求$AC$的长.

答案： 6.
(1)因为$FA = FE$，所以$\angle FAE = \angle AEF$.
又$\angle FAE$与$\angle BCE$都是$\overset{\frown} {BF}$所对的圆周角，
故$\angle FAE = \angle BCE$.
由于$\angle AEF = \angle CEB$，
则$\angle CEB = \angle BCE$.
因为$CE$平分$\angle ACD$，
所以$\angle ACE = \angle DCE$.
又$AB$是直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$.
于是 $\angle CEB + \angle DCE = \angle BCE + \angle ACE = \angle ACB = 90^{\circ}$.
故$\angle CDE = 90^{\circ}$，即$CD \perp AB$.
(2)由
(1)知，$\angle BEC = \angle BCE$，
所以$BE = BC$.
又$AF = EF$，$FM \perp AB$，
故$MA = ME = 2$，$AE = 4$.
从而圆的半径$OA = OB = AE - OE = 3$，
于是$BC = BE = OB - OE = 2$.
在$\triangle ABC$中，$AB = 6$，$BC = 2$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，
所以$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = 4 \sqrt{2}$，
即$AC$的长为$4 \sqrt{2}$.