《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

24. (12分)在平面直角坐标系中，若点$P$的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点$P$为“美丽点”.例如点$(1,1),(1, - 1),( - \sqrt{2},\sqrt{2}),·s$都是“美丽点”.
(1)直接写出抛物线$y = x^{2} - 12$上的“美丽点”坐标为(4,4)，(-3,-3)，(-4,4)，(3,-3)；
(2)若二次函数$y = x^{2} + tx + 1$的图象上无“美丽点”，则$t$的取值范围为-1 ＜ t ＜ 1；
(3)已知二次函数$y = ax^{2} + 4x + c(a \neq 0,c \neq 0)$的图象上只有三个“美丽点”，其中一个“美丽点”是$(3,3)$，当$0 \leq x \leq m$时，函数$y = ax^{2} + 4x + c - \frac{3}{2}(a \neq 0,c \neq 0)$的最小值为$- 6$，最大值为$2$，求
$m$的取值范围.

答案： 24.
(1)(4,4)，(-3,-3)，(-4,4)，(3,-3)
(2)$-1 ＜ t ＜ 1$
(3)$\because$一个“美丽点”是(3,3)，
$\therefore 9 a + 1 2 + c = 3$，
$\therefore c = - 9 a - 9$，
$\because y = a x ^ { 2 } + 4 x + c ( a \neq 0 , c \neq 0 )$的图象上只有
三个“美丽点”，
$\therefore$对应的一元二次方程必有一个有两个相等的
实数根，
当$x = - y$时，有$x = - ( a x ^ { 2 } + 4 x + c )$，
整理，得$a x ^ { 2 } + 5 x + c = 0$，
$\therefore \Delta = 2 5 - 4 a ( - 9 a - 9 ) = 0$，
化简得:$3 6 a ^ { 2 } + 3 6 a + 2 5 = 0$，
$\therefore ( a + \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } = - \frac { 4 } { 9 }$，此方程无实数解；
当$x = y$时，有$x = a x ^ { 2 } + 4 x + c$，
整理，得$a x ^ { 2 } + 3 x + c = 0$，
$\therefore \Delta = 9 - 4 a ( - 9 a - 9 ) = 0$，
化简得:$4 a ^ { 2 } + 4 a + 1 = 0$，
$\therefore ( 2 a + 1 ) ^ { 2 } = 0$，
$\therefore a = - \frac { 1 } { 2 }$，
$\therefore c = - 9 × ( - \frac { 1 } { 2 } ) - 9 = - \frac { 9 } { 2 }$，
$\therefore$原二次函数为$y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 4 x - \frac { 9 } { 2 }$，
$\therefore y = a x ^ { 2 } + 4 x + c = \frac { 3 } { 2 } x ^ { 2 } + 4 x - 6 =\frac { 1 } { 2 } ( x - 4 ) ^ { 2 } + 2$，
$\because a = - \frac { 1 } { 2 } ＜ 0$，
$\therefore$当$x = 4$时，此二次函数有最大值为2，
$\because$当$x = 0$时，$y = - 6$，
且(0,-6)关于抛物线的对称轴直线$x = 4$的对
称点为(8,-6)，
又$\because$当$0 \leq x \leq m$时，函数$y = a x ^ { 2 } + 4 x + c - \frac { 3 } { 2 } ( a \neq 0 , c \neq 0 )$的最小值为-6，最大值为2，
$\therefore m$的取值范围为$4\leq m\leq8$.