《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

1. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4x + c = 0$有两个相等的实数根，则实数$c$的值为 (C)

A.$-16$
B.$-4$
C.$4$
D.$16$

答案： 1.C

2. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是 (D)

A.$x^{2}-6x = 0$
B.$x^{2}-9 = 0$
C.$x^{2}-6x + 6 = 0$
D.$x^{2}-6x + 9 = 0$

答案： 2.D

3. 关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(k + 3)x + k = 0$的根的情况是 (A)

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.不能确定

答案： 3.A

4. 一元二次方程$x^{2}-3x - 1 = 0$的根的判别式的值是13.

答案： 4.13

5. [新考向]关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4x + 2a = 0$有实数根，则$a$的值可以是1(答案不唯一)(写出一个即可).

答案： 5.1(答案不唯一)

6. (2024 湖南)若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4x + 2k = 0$有两个相等的实数根，则$k$的值为2.

答案： 6.2

7. 不解方程，判断下列方程根的情况.
(1)$x^{2}-10x + 25 = 0$;
(2)$2(x + 1)^{2}-1 = x(x + 5)$.

答案： 7.
(1)
∵$\Delta = b^{2} - 4ac = (-10)^{2} - 4 × 25 = 0$，
$\therefore$方程$x^{2} - 10x + 25 = 0$有两个相等的实数根.
(2)原方程整理得$x^{2} - x + 1 = 0$.
∵$\Delta = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4 × 1 × 1 = 1 - 4 = -3 ＜ 0$，
$\therefore$原方程无实数根.

8. 已知方程$(x - 1)(2x + 1) = 4x - k - 1$的根的判别式的值为$25$，解这个方程.

答案： 8.将原方程化为一般形式，得$2x^{2} - 5x + k = 0$，
$\Delta = 25 - 8k = 25$，
$\therefore k = 0$，
$\therefore x_{1} = 0,x_{2} = \frac{5}{2}$.

9. 已知$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^{2}-2kx + k^{2}-k + 1 = 0$的两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围;
(2)若$k ＜ 5$，且$k,x_1,x_2$都是整数，求$k$的值.

答案： 9.
(1)
∵原方程有两个不相等的实数根，
$\therefore\Delta = (-2k)^{2} - 4 × 1 × (k^{2} - k + 1)$
$= 4k^{2} - 4k^{2} + 4k - 4$
$= 4k - 4 ＞ 0$，
解得$k ＞ 1$.
(2)
∵$1 ＜ k ＜ 5$，
$\therefore$整数$k$的值为$2,3,4$.
当$k = 2$时，方程为$x^{2} - 4x + 3 = 0$，
解得$x_{1} = 1,x_{2} = 3$.
当$k = 3$或$4$时，此时方程的解不为整数.
综上所述,$k$的值为$2$.