《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

24. （12分）如图，$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 8\ cm$，$AC = 6\ cm$.点$P$从$B$出发沿$BA$向$A$运动，速度为每秒$1\ cm$，点$E$是点$B$以P为对称中心的对称点，点$P$运动的同时，点$Q$从$A$出发沿$AC$向$C$运动，速度为每秒$2\ cm$，当点$Q$到达顶点$C$时，$P$，$Q$同时停止运动，设$P$，$Q$两点运动时间为$t$秒.
(1)当$t$为 时，$PQ//$$\frac{30}{13}$$BC$；
(2)设四边形$PQCB$的面积为$y$，求$y$关于$t$的函数关系式；
(3)当四边形$PQCB$面积是$\triangle ABC$面积的$\frac{3}{5}$时，$t$的值为 ；$5-\sqrt{13}$
(4)当$t$为何值时，$\triangle AEQ$为等腰三角形？（直接写出结果）

答案：

(1)$\frac{30}{13}$
(2)如图，过P作PK⊥AC于K，

∵BC = 8，AC = 6，∠C = 90°，
∴AB = 10，
∴$\sin A=\frac{PK}{AP}=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，
则$PK=\frac{4}{5}(10 - t)=8-\frac{4}{5}t$，
∴$S_{△APQ}=\frac{1}{2}AQ·PK=\frac{1}{2}·2t×(8-\frac{4}{5}t)=-\frac{4}{5}t^{2}+8t(0＜t＜3)$，
∴$y=\frac{1}{2}×6×8-(-\frac{4}{5}t^{2}+8t)=\frac{4}{5}t^{2}-8t + 24(0＜t＜3)$.
(3)$5-\sqrt{13}$
(4)$t=\frac{5}{2}$或$t=\frac{30}{11}$或$t=\frac{25}{11}$.