《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

23. （10分）如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$是边$BC$延长线上一点，$E$是边$AC$上一点，$\angle EBC = \angle D$，$BC = 4$，$\sin\frac{1}{2}\angle BAC = \frac{1}{3}$.
(1)求证：$\frac{CE}{AB} = \frac{BC}{BD}$；
(2)$\triangle BCE$，$\triangle ABD$的面积分别记为$S_{1}$，$S_{2}$，求$S_{1} · S_{2}$的值.

答案：

(1)
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB.
∵∠EBC = ∠D，
∴△BCE∽△DBA.
∴$\frac{CE}{AB}=\frac{BC}{BD}$.
(2)过A作AH⊥BC于点H，如图.

∵AB = AC，BC = 4，
∴BH = 2，∠BAH=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∵$\sin\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{3}$，
∴$\sin∠BAH=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BH}{AB}=\frac{1}{3}$.
∴AB = AC = 6.
在Rt△ABH中，
$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{6^{2}-2^{2}}=4\sqrt{2}$.
过E作EG⊥BC，交BC于G，
由
(1)知△BCE∽△DBA，
∴$\frac{EG}{AH}=\frac{BC}{BD}$，
∴$EG·BD=AH·BC=4\sqrt{2}×4 = 16\sqrt{2}$.
∴$S₁·S₂=\frac{1}{2}BC·EG·\frac{1}{2}BD·AH =\frac{1}{4}(AH·BC)=\frac{1}{4}×(16\sqrt{2})^{2}=128$.