《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

23. （10分）如图，菱形$ABCD$的边长为$48 cm$，$\angle A = 60^{\circ}$，动点$P$从点$A$出发，沿着$AB - BD$做匀速运动，同时动点$Q$从点$D$出发，沿着$DC - CB - BA$做匀速运动.
（1）求$BD$的长.
（2）已知动点$P$，$Q$运动的速度分别为$8 cm/s$，$10 cm/s$.经过12 s后，$P$，$Q$分别到达$M$，$N$两点，若按角的大小进行分类，$\bigtriangleup AMN$是哪一类三角形？请说明理由.
（3）设问题（2）中的动点$P$，$Q$分别从$M$，$N$同时沿原路返回，动点$P$的速度不变，动点$Q$的速度变为$a cm/s$，经过3 s后，$P$，$Q$分别到达$E$，$F$两点，若$\bigtriangleup BEF$与问题（2）中的$\bigtriangleup AMN$相似，试求$a$的值.

答案：
23.
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = BC = CD = AD = 48cm.
又∠A = 60°,
∴△ABD是等边三角形.
∴BD = AB = 48cm.故BD的长为48cm.
(2)如图1,12s后,点P走过的路程为8×12 = 96(cm)，

∴12s后点P到达点D(M).
又12s后,点Q走过的路程为10×12 = 120(cm)，
∴12s后点Q到达AB的中点N处.
连结MN,由
(1)知△ABM(即△ABD)是等边三角形，
∴MN ⊥ AB于点N,
∴∠ANM = 90°.
∴△AMN是直角三角形.
(3)依题意得3s时点P走过的路程为24cm，点Q走过的路程为3a cm.
∵点E是BD的中点.
∴DE = BE = 24cm.
易知点F的位置有三种情况：
①当点F在NB上时(如图2),NF = 3a，

∴BF = (24 - 3a)cm.
∵点E是BD的中点，
∴当EF ⊥ AB时,∠EFB = ∠ANM = 90°.
由
(1)知∠ABD = ∠A = 60°，
∴△EFB ∽ △MNA,
∴$\frac{BF}{AN}$ = $\frac{BE}{AM}$，
∴$\frac{24 - 3a}{24}$ = $\frac{24}{48}$,
∴a = 4.
②如图3,由菱形的轴对称性,当点F在BC上时,BF = 12.

∴点Q走过的路程为36cm,
∴a = $\frac{36}{3}$ = 12.
③如图4,当点F与点C重合时，

BF = 48cm，
∴点Q走过的路程为72cm.
∴a = $\frac{72}{3}$ = 24.
综上所述,若△BEF与△AMN相似,则a的值为4或12或24.