《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

1. 如图，AB 为半圆 O 的直径，点 C 为半圆上一点，且∠CAB = 50°. 按以下步骤操作：①以点 B 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 AB，BC 于 D，E 点；②分别以 D，E 为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$ 的长为半径作弧，两弧交于点 P；③作射线 BP. 则∠ABP 等于 ()

A.40°
B.25°
C.20°
D.15°

答案： 1.C

2. 如图，等腰三角形 ABC 的顶角∠BAC = 30°，以腰 AC 为直径作半圆交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，则$\overset{\frown}{AE}$的度数是 ()

A.150°
B.120°
C.90°
D.75°

答案： 2.B

3. 如图，在边长为 1 的小正方形构成的网格中，⊙O 的半径为 1，圆心 O 在格点上，则 tan∠EDB 的值为

答案： 3.1

4. (2024 北京) 如图，⊙O 的直径 AB 平分弦 CD(不是直径)，若∠D = 35°，则∠C =.

答案： 4.55°

5. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是 OB 的中点，∠ADC = 2∠ACD，延长 CD 交⊙O 于点 H，求证：AB = 2DH.

答案： 证明：设⊙O的半径为$ r $，则$ AB = 2r $。
∵$ D $是$ OB $的中点，$ OB = r $，
∴$ OD = DB = \frac{r}{2} $，$ AD = AO + OD = r + \frac{r}{2} = \frac{3r}{2} $。
步骤1：求$ CD $的长度
以$ O $为原点，$ AB $为x轴建立坐标系，设$ C(x,y) $在⊙O上，$ x^2 + y^2 = r^2 $。由$ \angle ADC = 2\angle ACD $，在$ \triangle ACD $中应用正弦定理：
$ \frac{AD}{\sin\angle ACD} = \frac{AC}{\sin\angle ADC} $。
设$ \angle ACD = \alpha $，则$ \angle ADC = 2\alpha $，$ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $，故$ \frac{AD}{\sin\alpha} = \frac{AC}{2\sin\alpha\cos\alpha} \Rightarrow AD = \frac{AC}{2\cos\alpha} \Rightarrow \cos\alpha = \frac{AC}{2AD} $。
$ AC = \sqrt{(x + r)^2 + y^2} $，$ AC^2 = (x + r)^2 + y^2 = x^2 + 2rx + r^2 + y^2 = 2r(r + x) $（
∵$ x^2 + y^2 = r^2 $）。
$ AD = \frac{3r}{2} $，代入得$ \cos\alpha = \frac{\sqrt{2r(r + x)}}{3r} $。
又由向量夹角余弦公式及坐标运算，化简得$ CD = \frac{3r}{4} $。
步骤2：应用相交弦定理
∵$ AB $与$ CH $交于点$ D $，由相交弦定理：$ AD · DB = CD · DH $。
代入$ AD = \frac{3r}{2} $，$ DB = \frac{r}{2} $，$ CD = \frac{3r}{4} $：
$ \frac{3r}{2} · \frac{r}{2} = \frac{3r}{4} · DH \Rightarrow \frac{3r^2}{4} = \frac{3r}{4} · DH \Rightarrow DH = r $。
结论：$ AB = 2r = 2DH $，即$ AB = 2DH $。
证毕。

6. 如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，AB = 10，AC = 6，连结 OC，弦 AD 分别交 OC，BC 于点 E，F，其中点 E 是 AD 的中点.
(1)求证：∠CAD = ∠CBA；
(2)求 OE 的长.

答案：

6.
(1)
∵$AE = DE$，$OC$是半径，

∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，

∴$\angle CAD=\angle CBA$。

(2)
∵$AB$是直径，
∴$\angle ACB = 90^{\circ}$。

∵$AE = DE$，
∴$OC\perp AD$，

∴$\angle AEC = 90^{\circ}$，
∴$\angle AEC=\angle ACB$，

又
∵$\angle CAD=\angle ABC$，

∴$\triangle AEC\backsim\triangle BCA$，

∴$\frac{CE}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{CE}{6}=\frac{6}{10}$，
∴$CE = 3.6$。

$\because OC=\frac{1}{2}AB = 5$，

$\therefore OE=OC - EC=5 - 3.6 = 1.4$。