《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

21. （8分）设$x_{1}$，$x_{2}$是方程$2x^{2}+4x-1=0$的两个根，求：
(1)$\frac{2}{x_{1}}+\frac{2}{x_{2}}$；
(2)$(x_{1}-x_{2})^{2}$.

答案： 21.由一元二次方程根与系数的关系得：
$x₁ + x₂ = -\frac{4}{2}= -2,x₁·x₂ = \frac{-1}{2}= \frac{1}{2}；$
$(1)\frac{2}{x₁}+\frac{2}{x₂}=\frac{2(x₁ + x₂)}{x₁·x₂}=\frac{2×(-2)}{\frac{1}{2}} = 8。$
(2)(x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁·x₂
$= (-2)² - 4×(-\frac{1}{2})$
= 6.

22. （9分）已知关于$x$的方程$(a-1)x^{2}-4x-1+2a=0$的一个根为$x=3$.
(1)求$a$的值及方程的另一个根；
(2)如果一个三角形的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长.

答案： 22.
(1)将x = 3代入方程(a - 1)x² - 4x - 1 + 2a = 0中，得9(a - 1) - 12 - 1 + 2a = 0，
解得a = 2.
将a = 2代入原方程得x² - 4x + 3 = 0，
分解因式，得(x - 1)(x - 3) = 0，
∴x₁ = 1,x₂ = 3.
∴方程的另一个根是x = 1.
(2)
∵三角形的三边长都是这个方程的根，
①当三边长都为1时，周长为3；
②当三边长都为3时，周长为9；
③当两边长为3，一边长为1时，周长为7；
④当两边长为1，一边长为3时，不满足三角形三边关系，不能构成三角形.
故三角形的周长为3或9或7.