《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

24. (12分)(1)如图1，在$\bigtriangleup ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BE$是$AC$边上的中线，点$D$在$BC$边上，$CD:BD = 1:2$，$AD$与$BE$相交于点$P$，请直接写出$\frac{AP}{PD} =$$\frac{3}{2}$.
(提示：如图2，过点$A$作$AF//BC$，交$BE$的延长线于点$F$，通过构造$\bigtriangleup AEF$，经过推理和计算能够使问题得到解决)
(2)如图3，在$\bigtriangleup ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BE$是$AC$边上的中线，若点$D$在$BC$的延长线上，$CD:CB = 1:2$，$AD$与$BE$的延长线交于点$P$，那么$\frac{AP}{PD}$的值是否发生变化？若发生变化，请求出$\frac{AP}{PD}$的值；若不发生变化，请说明理由.
(3)在(2)的基础上，若$DC:BC:AC = 1:2:3$，且$CD = 2$，求$BP$的长.

答案：
24.
(1)$\frac{3}{2}$
(2)$\frac{AP}{PD}$的值发生变化,理由如下：
如图,过点A作AF//BC，

交BP的延长线于点F,
则△APF ∽ △DPB，
∴$\frac{AP}{PD}$ = $\frac{AF}{BD}$
∵BE是AC边上的中线，
∴AE = EC.
∵AF//BC，
∴∠FAE = ∠BCE，
又∠AEF = ∠BEC，
∴△AEF ≌ △CEB，
∴AF = BC.
∴$\frac{AP}{PD}$ = $\frac{AF}{BD}$ = $\frac{BC}{BD}$ = $\frac{2}{3}$.
(3)
∵DC:BC:AC = 1:2:3,且CD = 2，
∴BC = 4,AC = 6.
过点F作FM⊥BD,交BD的延长线于M,如图.
∵∠ACB = 90°，
∴四边形ACMF为矩形.
∴FM = AC = 6,BM = AF + BC = 8.
由勾股定理得BF = 10.
∵△APF ∽ △DPB，
∴$\frac{AP}{PD}$ = $\frac{PF}{PB}$ = $\frac{2}{3}$，
∴PB = 6.