《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

21. (8分)如图，已知$\triangle ABC \backsim \triangle AEF$，若$B$，$E$，$F$三点共线，线段$EF$与$AC$交于点$O$，连结$CF$.
(1)求证:$\triangle ABE \backsim \triangle ACF$;
(2)若$AF = 4$，$BC = 6$，$\triangle AOF$的面积为8，求$\triangle BOC$的面积.

答案：
(1)
∵△ABC∽△AEF，
∴∠BAC = ∠EAF，AB:AE = AC:AF，
∴∠BAC - ∠EAC = ∠EAF - ∠EAC，
即∠BAE = ∠CAF，
∴△ABE∽△ACF。
(2)由
(1)知△ABE∽△ACF，
∴∠ABE = ∠ACF，
∵∠AOB = ∠COF，
∴△AOB∽△FOC，
∴AO:OF = OB:OC，
∵∠AOF = ∠BOC，
∴△AOF∽△BOC，
∴S△BOC:S△AOF = ($\frac{BC}{AF}$)² = $\frac{9}{4}$，
∵S△AOF = 8，
∴S△BOC = 18。

22. (9分)如图，已知在$\triangle ABC$中，$\angle ADE = \angle B$，$\angle BAC = \angle DAE$.
(1)求证:$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$;
(2)当$\angle BAC = 90°$时，求证:$EC \perp BC$.

答案：
(1)因为∠ADE = ∠B，∠BAC = ∠DAE，
所以△ABC∽△ADE，
所以$\frac{AD}{AB}$ = $\frac{AE}{AC}$。
(2)因为∠BAC = ∠DAE，
所以∠BAD = ∠CAE。
又因为$\frac{AD}{AB}$ = $\frac{AE}{AC}$，
所以△ABD∽△ACE，
所以∠B = ∠ACE。
因为∠BAC = 90°，
所以∠B + ∠ACB = 90°，
所以∠ACE + ∠ACB = 90°，
即∠BCE = 90°，所以EC⊥BC。