《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

1. 已知二次函数$y=a(x+1)^{2}-b(a\neq0)$有最小值$1$，则$a$，$b$的大小关系为 (A)

A.$a＞b$
B.$a＜b$
C.$a=b$
D.不能确定

答案： 1.A

2. (2024广州)函数$y_{1}=ax^{2}+bx+c$与$y_{2}=\frac{k}{x}$的图象如图所示，若$y_{1}$，$y_{2}$均随着$x$的增大而减小，则$x$的取值范围是 (D)

A.$x＜-1$
B.$-1＜x＜0$
C.$0＜x＜2$
D.$x＞1$

答案： 2.D

3. 二次函数$y=x^{2}+2x-5$的顶点坐标是$(-1,-6)$.

答案： 3.$(-1,-6)$

4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^{2}+bx+3$与$x$轴相交于点$A$，$B$，点$B$的坐标为$(3,0)$，若点$C(2,3)$在抛物线上，则$AB$的长为4.

答案： 4.4

5. 已知二次函数$y=-2x^{2}+8x-6$.
(1)用配方法求这个二次函数的图象的顶点坐标和对称轴；
(2)画出这个函数的大致图象，并指出函数值不小于$0$时$x$的取值范围.

答案：
5.
(1)$y=-2x^{2}+8x - 6=-2(x - 2)^{2}+2$，这个二次函数的图象的顶点坐标为$(2,2)$，对称轴为直线$x = 2$。
(2)函数大致图象如图所示。

由图易知：当函数值不小于$0$时，$1\leq x\leq3$。

6. 已知抛物线$y=ax^{2}-2ax-3+2a^{2}(a\neq0)$.
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在$x$轴上，求其表达式；
(3)设点$P(m,y_{1})$，$Q(3,y_{2})$在抛物线上，若$y_{1}＜y_{2}$，求$m$的取值范围.

答案： 6.
(1)$\because y=ax^{2}-2ax - 3 + 2a^{2}=a(x - 1)^{2}+2a^{2}-a - 3$，
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x = 1$。
(2)$\because$抛物线的顶点在$x$轴上，
$\therefore2a^{2}-a - 3 = 0$，解得$a=\frac{3}{2}$或$a=-1$，
$\therefore$抛物线的表达式为$y=\frac{3}{2}x^{2}-3x+\frac{3}{2}$或$y=-x^{2}+2x - 1$。
(3)$\because$抛物线的对称轴为直线$x = 1$，$Q(3,y_{2})$关于直线$x = 1$对称的点的坐标为$(-1,y_{2})$，
$\therefore$当$a＞0$，$-1＜m＜3$时，$y_{1}＜y_{2}$；
当$a＜0$，$m＜-1$或$m＞3$时，$y_{1}＜y_{2}$。