《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

20. （7分）如图，已知二次函数$y = x^2 + bx + c$的图象与$y$轴交于点$A$，与$x$轴正半轴交于$B$，$C$两点，且$BC = 2$，$S_{\triangle ABC} = 3$，求$b$的值.

答案： 20.$\because BC = 2,S_{\triangle ABC} = 3,\therefore \frac{1}{2} × 2 × AO = 3$，
$\therefore AO = 3$，
$\therefore$点A的坐标为$(0,3),\therefore c = 3$.
设B,C两点坐标分别为$(x_1,0),(x_2,0)$，
则$x_1,x_2$是$x^2 + bx + 3 = 0$的两根，
$\therefore x_1 + x_2 = -b,x_1x_2 = 3$，
$\because BC = 2,\therefore |x_1 - x_2| = 2$，
$\therefore (x_1 - x_2)^2 = 4$，
即$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 4$，
$\therefore (-b)^2 - 4 × 3 = 4$，解得$b = \pm 4$.
$\because$函数图象与$x$轴正半轴交于B,C两点，
$\therefore x_1 + x_2 ＞ 0$，即$b ＜ 0,\therefore b = -4$.

21. （8分）已知二次函数$y = ax^2 + k (a \neq 0)$的图象经过点$(0,-1)$，$(2,1)$.
（1）求该二次函数的表达式，并在如图所示的平面直角坐标系$xOy$中画出该函数的图象；
（2）当$-2 ＜ x ＜ 2$时，对于$x$的每一个值，函数$y = -\frac{1}{2}x^2 + m$的值都大于函数$y = ax^2 + k (a \neq 0)$的值且不大于$5$，求$m$的取值范围.

答案：
21.
(1)将点$(0,-1),(2,1)$代入$y = ax^2 + k(a \neq 0)$
中得到$\begin{cases} k = -1, \\ 4a + k = 1, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = \frac{1}{2}, \\ k = -1, \end{cases}$
$\therefore$该二次函数的表达式为$y = \frac{1}{2}x^2 - 1$，
列表如下：
$x ·s -3 -2 -1 0 1 2 3 ·s$
$y ·s \frac{7}{2} 1 -\frac{1}{2} -1 -\frac{1}{2} 1 \frac{7}{2} ·s$
画图如图1.

(2)根据题意，作图如图2.

$\because$函数$y = -\frac{1}{2}x^2 + m$的图象开口向下，且对称轴也是$y$轴，要使当$-2 ＜ x ＜ 2$时，对于$x$的每一个值，函数$y = -\frac{1}{2}x^2 + m$的值都大于函数$y = ax^2 + k(a \neq 0)$的值且不大于5，
$\therefore$只需保证当$x = \pm 2$时，$-\frac{1}{2}x^2 + m \geq ax^2 + k$，且当$x = 0$时，$-\frac{1}{2}x^2 + m \leq 5$，
即$\begin{cases} -\frac{1}{2} × 4 + m \geq 1, \\ m \leq 5, \end{cases}$
解得$3 \leq m \leq 5$.