《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

23. (10 分)如图，在正方形$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，点$E$是$BC$上的一个动点，连结$DE$，交$AC$于点$F$.
(1) 如图 1，当$\frac {CE}{EB} = \frac {1}{3}$时，求$\frac {S_{\triangle CEF}}{S_{\triangle CDF}}$的值；
(2) 如图 2，当点$E$是$BC$的中点时，过点$F$作$FG \perp BC$于点$G$，求证：$CG = \frac {1}{2}BG$.

答案： 23.
(1)
∵$\frac{CE}{EB}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CE}{BC}=\frac{1}{4}$.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴$\frac{EF}{DF}=\frac{CE}{AD}$，
∴$\frac{EF}{DF}=\frac{CE}{BC}=\frac{1}{4}$；
∴$\frac{S_{\triangle CEF}}{S_{\triangle CDF}}=\frac{EF}{DF}=\frac{1}{4}$.
(2)
∵AD//CB，点E是BC的中点，
∴△EFC∽△DFA.
∴CF:AF=EC:AD=1:2，
∵FG⊥BC，
∴FG//AB，
∴CG:BG=CF:AF=1:2，
∴$CG=\frac{1}{2}BG$.