《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

1. 如图，在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90^{\circ},AC = \sqrt{3}$，点$D$为$BC$边上一点，且$BD = 2AD$.若$\angle ADC = 60^{\circ}$，则
$BC$等于
(C)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： 1.C

2. 如图，矩形纸片$ABCD$中，点$E$是边$BC$的中点，连结$AE$，过点$A$对折矩形纸片，使点$D$落在射线
$AE$上，折痕为$AF$，若$AB = 2,AD = 3$，则$DF$等于
(A)

A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{8}{5}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$

答案： 2.A

3. 某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算$AB$的长为
$(\frac{5}{3}\sqrt{3} - 1.6)$$m$.(结果保留根号)

答案： 3.$(\frac{5}{3}\sqrt{3} - 1.6)$

4. 如图，在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，点$D$是$AB$的中点，连结$CD$，过点$D$作$DE \perp CD$交$BC$于点
$E$，若$\tan A = \frac{4}{3},BE = 7$，则$DE$的长为15.

答案： 4.15

5. 如图，在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ},D$是$AB$的中点，连结$CD$，过点$B$作$CD$的垂线，交$CD$的延
长线于点$E$.已知$AC = 30,\cos A = \frac{3}{5}$.
(1)求线段$CD$的长；
(2)求$\sin\angle DBE$的值.

答案：
5.
(1)在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,
AC = 30,cosA = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{3}{5}$,
∴AB = 50.
∵D是AB的中点,
∴CD = $\frac{1}{2}$AB = 25.
(2)如图,过点C作CF⊥AB于点F.

在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,AC = 30,AB = 50,
∴BC = 40,
∴CF = $\frac{AC · BC}{AB}$ = 24,
∴DF = $\sqrt{CD^{2} - CF^{2}}$ = $\sqrt{25^{2} - 24^{2}}$ = 7,
∴sin∠DCF = $\frac{DF}{CD}$ = $\frac{7}{25}$,
∵∠DCF + ∠CDF = ∠DBE + ∠BDE = 90°,
∠CDF = ∠BDE,
∴∠DBE = ∠DCF,
∴sin∠DBE = sin∠DCF = $\frac{7}{25}$.