《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

21. (8 分) 先化简，再求值：$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - x} ÷ (x - 1)$，其中$x = 2\sqrt{3}$.

答案： 21.原式$=\frac{(x - 1)^2}{x(x - 1)}·\frac{1}{x - 1}=\frac{1}{x}$
当$x = 2\sqrt{3}$时，原式$=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

22. (9 分) 已知$a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$，$b = \frac{1}{\sqrt{5} + 2}$，求$\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$的值.

答案： 22.
∵$a=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)×(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2,$
$b=\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\frac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)×(\sqrt{5}-2)}=\sqrt{5}-2,$
∴$ab=(\sqrt{5}+2)×(\sqrt{5}-2)=5 - 4 = 1,$
$a+b=\sqrt{5}+2+\sqrt{5}-2=2\sqrt{5},$
∴$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{b^2+a^2}{ab}=\frac{(a + b)^2-2ab}{ab}$
$=\frac{(2\sqrt{5})^2-2×1}{1}$
$=(2\sqrt{5})^2-2$
=20 - 2
=18.