《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

20. (7分)已知二次函数$y = - x^{2} - 4x + m$.
(1)若该二次函数的最大值为$2m$，求$m$的值；
(2)若该二次函数图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到的新二次函数图象与$x$轴有2个交点，求$m$的取值范围.

答案： 20.
(1)$\because y = - x ^ { 2 } - 4 x + m = - ( x + 2 ) ^ { 2 } + m + 4$，
$\therefore$当$x = - 2$时，二次函数有最大值$m + 4$，
$\because$该二次函数的最大值为$2m$，$\therefore m + 4 = 2 m$，
$\therefore m = 4$.
(2)抛物线$y = - ( x + 2 ) ^ { 2 } + m + 4$先向右平移
2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得
到的新抛物线的表达式为$y = - ( x + 2 - 2 ) ^ { 2 } +m + 4 - 4 = - x ^ { 2 } + m$，
$\because$平移后的抛物线与$x$轴有2个交点，且抛物线开口向下，
$\therefore$平移后的抛物线顶点一定在$x$轴上方，
$\therefore m ＞ 0$.