《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

1. 抛物线的顶点为$(1, -4)$，与$y$轴交于点$(0, -3)$，则该抛物线的表达式为 (A)

A.$y = x^{2} - 2x - 3$
B.$y = x^{2} + 2x - 3$
C.$y = x^{2} - 2x + 3$
D.$y = 2x^{2} - 3x - 3$

答案： 1.A

2. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线$y = \frac{1}{2}x^{2} - 2x + 3$相同，顶点坐标为$(-2,1)$，则此抛物线的表达式为 (C)

A.$y = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} + 1$
B.$y = \frac{1}{2}(x + 2)^{2} - 1$
C.$y = \frac{1}{2}(x + 2)^{2} + 1$
D.$y = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 1$

答案： 2.C

3. 将抛物线$y = 2x^{2}$先向左平移$1$个单位长度，再向下平移$3$个单位长度，得到的抛物线的表达式用顶点式表示是$y=2(x+1)^2-3$.

答案： $3.y=2(x+1)^2-3$

4. 二次函数$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的图象过点$A(0,m)$，$B(1, -m)$，$C(2,n)$，$D(3, -m)$，其中$m$，$n$为常数，则$\frac{m}{n}$的值为$-\frac{3}{5}$.

答案： $4.-\frac{3}{5}$

5. 如图，$E$是正方形$ABCD$的边$AB$上的动点，$EF \perp DE$交$BC$于点$F$.
(1) 求证：$\triangle ADE \backsim \triangle BEF$.
(2) 设正方形的边长为$4$，$AE = x$，$BF = y$，当$x$取何值时，$y$有最大值？并求出这个最大值.

答案： 5.
(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠FBE=90°。
∴∠ADE+∠DEA=90°。
又
∵EF⊥DE，
∴∠AED+∠FEB=90°，
∴∠ADE=∠FEB，
∴△ADE∽△BEF。
(2)由
(1)知△ADE∽△BEF，
∵$\frac{BF}{AE}=\frac{BE}{AD}，$
∵AE=x，BF=y，AD=4，BE=4-x，
∴$\frac{y}{x}=\frac{4-x}{4}，$
∴$y=\frac{1}{4}(-x^2+4x)=\frac{1}{4}[-(x-2)^2+4]$
$=-\frac{1}{4}(x-2)^2+1。$
∴当x=2时，y有最大值，为1。

6. 已知一个二次函数图象的对称轴是直线$x = -1$，图象在$x$轴上截得的线段长为$4$，与$y$轴的公共点的纵坐标为$-6$，求这个函数的表达式.

答案： $6.y=2x^2+4x-6。$

7. 如图，已知抛物线与$x$轴交于$A(-3,0)$，$B(1,0)$两点，与$y$轴的负半轴交于点$P$，$\triangle ABP$的面积为$6$，求抛物线的表达式.

答案： $7.y=x^2+2x-3。$