《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 8$，$AC = 6$，$O$为$\triangle ABC$的内心，若$\triangle ABO$的面积为$20$，则$\triangle ACO$的面积为
(B)

A.$20$
B.$15$
C.$18$
D.$12$

答案： 1.B

2. 如图，$\triangle ABC$的内切圆(圆心为点$O$)与各边分别相切于点$D$，$E$，$F$，连结$EF$，$DE$，$DF$.以点$B$为圆心，以适当长为半径作弧分别交$AB$，$BC$于$G$，$H$两点；分别以点$G$，$H$为圆心，以大于$\frac{1}{2}GH$的长为半径作弧，两条弧交于点$P$；作射线$BP$.下列说法不正确的是(B)


A.射线$BP$一定过点$O$
B.点$O$是$\triangle DEF$三条角平分线的交点
C.若$\triangle ABC$是等边三角形，则$DE = \frac{1}{2}BC$
D.点$O$是$\triangle DEF$三条垂直平分线的交点

答案： 2.B

3. 已知$\triangle ABC$的三边长$a$，$b$，$c$满足$b + |c - 3| + a^{2} - 8a = 4\sqrt{b - 1} - 19$，则$\triangle ABC$的内切圆半径长为1。

答案： 3.1

4. 边长分别为5，12，13的三角形的内心到一边的距离是2.

答案： 4.2

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 80^{\circ}$.
(1)若点$O$为$\triangle ABC$的外心，求$\angle BOC$的度数；
(2)若点$I$为$\triangle ABC$的内心，求$\angle BIC$的度数.

答案： 5.
(1)
∵点O为△ABC的外心，
∴由圆周角定理得∠BOC = 2∠A.
∵∠A = 80°
∴∠BOC = 160°.
(2)
∵点I为△ABC的内心，
∴$∠ABI = ∠IBC = \frac{1}{2}∠ABC，$
$∠ACI = ∠ICB = \frac{1}{2}∠ACB.$
∵∠A = 80°，
∴∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 100°，
∴$∠IBC + ∠ICB = \frac{1}{2}(∠ABC + ∠ACB) = 50°，$
∴∠BIC = 180° - (∠IBC + ∠ICB) = 130°.

6. 如图，矩形$ABCD$中，$AD = a$，$AB = b(a ＞ b)$，设点$E$是边$AD$上一点，如果$\triangle BEC$是直角三角形，且它的内切圆半径与$BC$之比为$1:5$，求$a:b$的值.

答案：
6.提示：本题可用面积法求解$.S_\triangle BEC = \frac{1}{2}ab($矩形面积的一半)，也可以表示为$\frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}ar + r^2$

而r:a = 1:5,故$S_\triangle BEC = ar + r^2 = \frac{a^2}{5} + \frac{a^2}{25}$
$= \frac{6a^2}{25},$于是有$\frac{1}{2}ab = \frac{6a^2}{25},$两边约去a,得到$\frac{a}{b} = \frac{25}{12}$