《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

20. (7 分)[2024 辽宁] 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，垂足为点 E.
(1) 求∠BAD 的度数；
(2) 若 BD = 2 cm，求 CD 的长.

答案： 20.
(1)
∵AB = AC, ∠BAC = 120°,
∴∠B = ∠C = 30°,
∵DE是AB的垂直平分线,
∴∠BAD = ∠B = 30°.
(2)
∵∠BAC = 120°, ∠BAD = 30°,
∴∠CAD = 90°, 又∠C = 30°,
∴CD = 2AD = 2BD = 4cm.

21. (8 分)[2024 辽宁] 如图 1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起. 起始位置示意图如图 2，此时测得点 A 到 BC 所在直线的距离 AC = 3 m，∠CAB = 60°；停止位置示意图如图 3，此时测得∠CDB = 37°.（点 C，A，D 在同一直线上，且直线 CD 与地面平行，图 3 中所有点在同一平面内. 定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变）（参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75，$\sqrt{3}$ ≈ 1.73）
(1) 求 AB 的长；
(2) 求物体上升的高度 CE（结果精确到 0.1 m）.

答案： 21.
(1)在Rt△ABC中, ∠BCA = 90°, ∠CAB = 60°, AC = 3,
∵cos∠CAB = $\frac{AC}{AB}$,
∴AB = $\frac{AC}{cos∠CAB}$ = $\frac{3}{cos60°}$ = 6(m). 答:AB的长为6m.
(2)在Rt△ABC中, ∠BCA = 90°, ∠CAB = 60°, AC = 3,
∵tan∠CAB = $\frac{BC}{AC}$,
∴BC = AC·tan∠CAB = 3tan60° = 3$\sqrt{3}$(m). 在Rt△BCD中, ∠BCD = 90°, ∠CDB = 37°,
∵sin∠CDB = $\frac{BC}{BD}$,
∴BD = $\frac{BC}{sin∠CDB}$ ≈ $\frac{3\sqrt{3}}{0.60}$ ≈ 8.65(m).
∴CE = BD - AB ≈ 8.65 - 6 ≈ 2.7(m). 答:物体上升的高度CE约为2.7m.