《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

21. (8分)[2024 云南]已知抛物线$y = x^{2} + bx - 1$的对称轴是直线$x = \frac{3}{2}$.设$m$是抛物线$y = x^{2} + bx - 1$与$x$轴交点的横坐标，记$M = \frac{m^{5} - 33}{109}$.
(1)求$b$的值；
(2)比较$M$与$\frac{\sqrt{13}}{2}$的大小.

答案： 21.
(1)$\because$抛物线$y = x ^ { 2 } + b x - 1$的对称轴是直线
$x = \frac { 3 } { 2 }$，
$\therefore - \frac { b } { 2 × 1 } = \frac { 3 } { 2 }$，
解方程得$b = - 3$.
$\therefore b = - 3$.
(2)$\because m$是抛物线$y = x ^ { 2 } + b x - 1$与$x$轴交点
的横坐标，$b = - 3$，
$\therefore m ^ { 2 } - 3 m - 1 = 0$，
$\therefore m ^ { 2 } = 3 m + 1$，
$\therefore m ^ { 4 } = ( 3 m + 1 ) ^ { 2 } = 9 m ^ { 2 } + 6 m + 1 = 9 ( 3 m + 1 )$
$+ 6 m + 1 = 2 7 m + 9 + 6 m + 1 = 3 3 m + 1 0$.
$\therefore m ^ { 5 } = m · m ^ { 4 } = 3 3 m ^ { 2 } + 1 0 m = 3 3 ( 3 m + 1 ) +$
$1 0 m = 1 0 9 m + 3 3$.
$\therefore M = \frac { m ^ { 5 } - 3 3 } { 1 0 9 } = \frac { 1 0 9 m + 3 3 - 3 3 } { 1 0 9 } = m$.
$\because m ^ { 2 } - 3 m - 1 = 0$，
$\therefore m = \frac { 3 \pm \sqrt { ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 × 1 × ( - 1 ) } } { 2 × 1 } = \frac { 3 \pm \sqrt { 1 3 } } { 2 }$
$\therefore$当$m = \frac { 3 + \sqrt { 1 3 } } { 2 }$时，$M = \frac { 3 + \sqrt { 1 3 } } { 2 } = \frac { 3 } { 2 } + \frac { \sqrt { 1 3 } } { 2 } ＞ \frac { \sqrt { 1 3 } } { 2 }$；
当$m = \frac { 3 - \sqrt { 1 3 } } { 2 }$时，$M = \frac { 3 - \sqrt { 1 3 } } { 2 } = \frac { \sqrt { 9 } - \sqrt { 1 3 } } { 2 } ＜ 0 ＜ \frac { \sqrt { 1 3 } } { 2 }$
$\therefore$当$m = \frac { 3 + \sqrt { 1 3 } } { 2 }$时，$M ＞ \frac { \sqrt { 1 3 } } { 2 }$；
当$m = \frac { 3 - \sqrt { 1 3 } } { 2 }$时，$M ＜ \frac { \sqrt { 1 3 } } { 2 }$.

22. (9分)请回答下列问题.
(1)已知关于$x$的二次函数$y = x^{2} - (a - 1)x - a + 1$的图象与$x$轴有且只有一个公共点，求$a$的值，并求出公共点的坐标；
(2)已知关于$x$的二次函数$y = (6 - k)x^{2} - 2kx + 1$的图象与$x$轴有且只有一个公共点，求$k$的值，并求出公共点的坐标.

答案： 22.
(1)$a = 1$，公共点的坐标为(0,0)；或$a = - 3$，公
共点的坐标为(-2,0).
(2)$k = - 3$，公共点的坐标为$( - \frac { 1 } { 3 } , 0 )$；或$k =2$，公共点的坐标为$(\frac { 1 } { 2 } , 0 )$.