《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

20. （7分）[2024 河北]中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.淇淇在家透过窗户的最高点$P$恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离$BQ = 4\ m$，仰角为$\alpha$；淇淇向前走了$3\ m$后到达点$D$，透过点$P$恰好看到月亮，仰角为$\beta$，如图是示意图.已知淇淇的眼睛与水平地面$BQ$的距离$AB = CD = 1.6\ m$，点$P$到$BQ$的距离$PQ = 2.6\ m$，$AC$的延长线交$PQ$于点$E$.(注：图中所有点均在同一平面内)
(1)求$\beta$的大小及$\tan\alpha$的值；
(2)求$CP$的长及$\sin\angle APC$的值.

答案：

(1)由题意得∠CEP = 90°，
$CE=DQ=BQ - BD=1$，
$PE=PQ - EQ=1$，
∴β = 45°.
在Rt△PAE中，$\tan α=\frac{PE}{AE}=\frac{1}{4}$.
(2)在Rt△PCE中，
$CP=\sqrt{CE^{2}+PE^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$.
如图，过点C作CH⊥AP于点H，

在Rt△ACH中，$\tan α=\frac{CH}{AH}$.
∵$\tan α=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{CH}{AH}=\frac{1}{4}$.
设CH = x，则AH = 4x，
由勾股定理，得$x^{2}+(4x)^{2}=3^{2}$，
∴$x=\frac{3\sqrt{17}}{17}$，
∴在Rt△HPC中，$\sin∠APC=\frac{CH}{CP}=\frac{\frac{3\sqrt{17}}{17}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{34}}{34}$.

21. （8分）[2024 成都]中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均值.某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子$AB$垂直于地面，$AB$长8尺.在夏至时，杆子$AB$在太阳光线$AC$照射下产生的日影为$BC$；在冬至时，杆子$AB$在太阳光线$AD$照射下产生的日影为$BD$.已知$\angle ACB = 73.4^{\circ}$，$\angle ADB = 26.6^{\circ}$，求春分和秋分时日影长度.（结果精确到0.1尺；参考数据：$\sin 26.6^{\circ} \approx 0.45$，$\cos 26.6^{\circ} \approx 0.89$，$\tan 26.6^{\circ} \approx 0.50$，$\sin 73.4^{\circ} \approx 0.96$，$\cos 73.4^{\circ} \approx 0.29$，$\tan 73.4^{\circ} \approx 3.35$）

答案： 在Rt△ABC中，
∵∠B = 90°，∠ACB = 73.4°，AB = 8尺，
∴$BC=\frac{AB}{\tan 73.4°}≈\frac{8}{3.35}≈2.388(尺)$，
即夏至时日影长度约为2.388尺.
在Rt△ABD中，
∵∠B = 90°，∠D = 26.6°，AB = 8尺，
∴$BD=\frac{AB}{\tan 26.6°}≈\frac{8}{0.50}=16(尺)$，
即冬至时日影长度约为16尺，
∴$\frac{2.388 + 16}{2}≈9.2(尺)$，
即春分和秋分时日影长度约为9.2尺.