《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

23. （10分）[2024 广东] 广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨$2$万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按每吨$5$万元出售，平均每天可售出$100$吨.市场调查反映：如果每吨降价$1$万元，每天销售量相应增加$50$吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值.

答案： 23.①若“利润”最大.
设每吨降价$a$万元，利润为$\omega$万元，
则$\omega = (5 - 2 - a)(100 + 50a)$
$= -50a^2 + 50a + 300$
$= -50(a - 0.5)^2 + 312.5$.
$\because -50 ＜ 0$，
$\therefore$当$a = 0.5$时，$\omega$有最大值，$\omega_{最大} = 312.5$.
这时定价为$5 - 0.5 = 4.5$（万元）.
答：定价为每吨4.5万元时，才能使每天的利润最大，最大利润为312.5万元.
②若“销售收入”最大.
设每吨降价$x$万元，销售收入为$y$万元，
则$y = (5 - x)(100 + 50x)$
$= -50x^2 + 150x + 500$
$= -50(x - 1.5)^2 + 612.5$.
$\because -50 ＜ 0$，
$\therefore$当$x = 1.5$时，$y$有最大值，$y_{最大} = 612.5$.
这时定价为$5 - 1.5 = 3.5$（万元）.
答：定价为每吨3.5万元时，才能使每天的销售收入最大，最大销售收入为612.5万元.