《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

2. (2024·惠州期中)综合探究
【问题背景】在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用方法.如图 1,在四边形 $ ABCD $ 中, $ AB = AD $, $ \angle BAD = 120 ^ { \circ } $, $ \angle B = \angle ADC = 90 ^ { \circ } $,点 $ E $, $ F $ 分别是 $ BC $, $ CD $ 上的点,且 $ \angle EAF = 60 ^ { \circ } $,连接 $ EF $,探究线段 $ BE $, $ EF $, $ DF $ 之间的数量关系.

【探究发现】
(1)如图 1,小明同学的方法是将 $ \triangle ABE $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 120 ^ { \circ } $ 至 $ \triangle ADG $ 的位置,使得 $ AB $ 与 $ AD $ 重合,然后证明 $ \triangle AGF \cong \triangle AEF $,从而得出 $ BE $, $ EF $, $ DF $ 之间的数量关系:____;
【拓展延伸】
(2)如图 2,在正方形 $ ABCD $ 中, $ E $, $ F $ 分别在边 $ BC $, $ CD $ 上,且 $ \angle EAF = 45 ^ { \circ } $,连接 $ EF $, (1)中的结论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由.
【尝试应用】
(3)尝试应用:在(2)的条件下,若 $ BE = 3 $, $ DF = 2 $,求正方形 $ ABCD $ 的边长.

答案：

(1) $ EF = BE + DF $ 解析: 将 $ \triangle ABE $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 120^{\circ} $ 至 $ \triangle ADG $ 的位置, 使得 $ AB $ 与 $ AD $ 重合, $ \therefore \triangle ABE \cong \triangle ADG $, $ \therefore AE = AG $, $ \angle BAE = \angle DAG $, $ \because \angle BAD = 120^{\circ} $, $ \angle EAF = 60^{\circ} $, $ \angle ADG = \angle B = 90^{\circ} $, $ \therefore \angle ADG + \angle ADC = 180^{\circ} $, $ \angle BAE + \angle DAF = 60^{\circ} $, $ \therefore G $、$ D $、$ F $ 三点共线, $ \angle GAF = \angle DAG + \angle DAF = 60^{\circ} = \angle EAF $, $ \because AF = AF $, $ \therefore \triangle AEF \cong \triangle AGF(SAS) $, $ \therefore EF = FG = DG + DF = BE + DF $;
解:
(2) 结论仍然成立,
证明: 如答图, 将 $ \triangle ABE $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $ 至 $ \triangle ADG $ 的位置, 使得 $ AB $ 与 $ AD $ 重合,

$ \therefore \triangle ABE \cong \triangle ADG $,
$ \therefore AE = AG $, $ \angle BAE = \angle DAG $, $ \angle ADG = \angle B = 90^{\circ} $,
$ \therefore \angle ADG + \angle ADC = 180^{\circ} $,
$ \therefore G $、$ D $、$ F $ 三点共线,
$ \because \angle BAD = 90^{\circ} $, $ \angle EAF = 45^{\circ} $,
$ \therefore \angle BAE + \angle DAF = 45^{\circ} $,
$ \therefore \angle GAF = \angle DAG + \angle DAF = 45^{\circ} = \angle EAF $,
$ \because AF = AF $,
$ \therefore \triangle AEF \cong \triangle AGF(SAS) $,
$ \therefore EF = FG = DG + DF = BE + DF $;
(3) 由
(1)
(2) 可得 $ EF = BE + DF = 5 $,
设正方形 $ ABCD $ 的边长是 $ x $,
在 $ Rt \triangle CEF $ 中, $ EC = x - 3 $, $ CF = x - 2 $, $ EF^{2} = EC^{2} + CF^{2} $,
$ \therefore 5^{2} = (x - 3)^{2} + (x - 2)^{2} $,
解得 $ x_{1} = 6 $, $ x_{2} = -1 $ (不合题意, 舍去),
$ \therefore $ 正方形 $ ABCD $ 的边长是 6.