《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. (人教九上 P42)一辆汽车速度的行驶距离 s(单位:m)关于行驶时间 t(单位:s)的函数解析式是 $ s = 9t + \frac{1}{2}t^2 $,经过 12 s 汽车行驶了多远?行驶 380 m 需要多少时间?

答案： 解：由题意可得，当 $ t = 12s $ 时，$ s = 9 × 12 + \frac{1}{2} × 12^{2} = 180(m) $；
当 $ s = 380m $ 时，$ 380 = 9t + \frac{1}{2}t^{2} $，解得 $ t_{1} = 20 $，$ t_{2} = -38 $（舍去）。
答：经过 $ 12s $ 汽车行驶了 $ 180m $，行驶 $ 380m $ 需要 $ 20s $。

2. (人教九上 P41)如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle B = 90^\circ $, $ AB = 12 \mathrm{~mm} $, $ BC = 24 \mathrm{~mm} $, 动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 mm/s 的速度移动,动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4 mm/s 的速度移动. 如果 P, Q 两点分别从 A, B 两点同时出发,写出 $ \triangle PBQ $ 的面积 S 关于出发时间 t 的函数解析式及 t 的取值范围.

函数解析式为$S=-4t^{2}+24t$，t 的取值范围是$0 \leq t \leq 6$.

答案： 解：由题意可得，$ BP = AB - AP = 12 - 2t $，$ BQ = 4t $，$ \therefore S = \frac{BP \cdot BQ}{2} = \frac{(12 - 2t) \cdot 4t}{2} = -4t^{2} + 24t = -4(t - 3)^{2} + 36 $。
当 $ 0 \leq t \leq 3 $ 时，$ \triangle PBQ $ 的面积 $ S $ 随出发时间 $ t $ 的增大而增大；
当 $ 3 \leq t \leq 6 $ 时，$ \triangle PBQ $ 的面积 $ S $ 随出发时间 $ t $ 的增大而减小。
$ \therefore S = -4(t - 3)^{2} + 36 $，$ t $ 的取值范围是 $ 0 \leq t \leq 6 $。

3. (人教九上 P52)某宾馆有 50 个房间供游客居住. 当每个房间每天的定价为 180 元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加 10 元时,就会有一个房间空闲. 如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用. 房价定为多少时,宾馆利润最大?

答案： 解：设房价增加 $ x $ 元时，利润为 $ w $ 元。
根据题意，得 $ w = (180 + x - 20)\left(50 - \frac{x}{10}\right) = -\frac{1}{10}(x - 170)^{2} + 10890 $。
$ \because -\frac{1}{10} ＜ 0 $，$ \therefore $ 当 $ x = 170 $ 时，$ w $ 取最大值。
$ \therefore 180 + x = 180 + 170 = 350 $，即房价定为 $ 350 $ 元时，宾馆利润最大。

4. (人教九上 P57 拓广探索)(运算能力、几何直观、模型观念、应用意识)如图,点 E,F,G,H 分别在菱形 ABCD 的四条边上,且 $ BE = BF = DG = DH $, 连接 EF,FG,GH,HE 得到四边形 EFGH.
(1) 求证:四边形 EFGH 是矩形;
(2) 设 $ AB = a $, $ \angle A = 60^\circ $, 当 BE 为何值时,矩形 EFGH 的面积最大?

答案：
解：（1）证明：$ \because DG = DH $，
$ \therefore \angle DGH = \angle DHG = \frac{180^{\circ} - \angle D}{2} $，
$ \because $ 在菱形 $ ABCD $ 中，$ BC = CD $，又 $ BF = DG $，
$ \therefore CG = CF $，$ \therefore \angle CGF = \frac{180^{\circ} - \angle C}{2} $，
$ \therefore \angle DGH + \angle CGF = \frac{360^{\circ} - (\angle D + \angle C)}{2} $，
又 $ \because $ 菱形 $ ABCD $ 中，$ AD // BC $，
$ \therefore \angle D + \angle C = 180^{\circ} $，
$ \therefore \angle DGH + \angle CGF = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle HGF = 90^{\circ} $，同理，$ \angle GHE = 90^{\circ} $，$ \angle EFG = 90^{\circ} $，
$ \therefore $ 四边形 $ EFGH $ 是矩形。
（2）解：如图，连接 $ BD $，交 $ EF $ 于点 $ M $。

$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是菱形，$ \angle A = 60^{\circ} $，
$ \therefore AD = AB = CB = CD $，$ \angle C = \angle A = 60^{\circ} $，
$ \therefore \triangle ABD $ 和 $ \triangle BCD $ 是等边三角形，$ \therefore BD = AB = a $，
$ \therefore S_{\triangle BCD} = S_{\triangle ABD} = \frac{\sqrt{3}}{4}AB^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2} $，
则菱形 $ ABCD $ 的面积是 $ \frac{\sqrt{3}}{2}a^{2} $，设 $ BE = x $，则 $ AE = a - x $，
$ \because BE = DH $，$ AB = AD $，$ \therefore AH = AE $，
$ \because \angle A = 60^{\circ} $，$ \therefore \triangle AEH $ 是等边三角形，$ \therefore EH = AE = a - x $，
由题意得 $ \triangle BME $ 是直角三角形，又 $ \angle ABD = 60^{\circ} $，$ BE = x $，$ \therefore EM = \frac{\sqrt{3}}{2}x $，
$ \therefore EF = 2EM = \sqrt{3}x $，则矩形 $ EFGH $ 的面积 $ y = EF \cdot EH = \sqrt{3}x(a - x) = -\sqrt{3}(x^{2} - ax) = -\sqrt{3}\left(x - \frac{a}{2}\right)^{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2} $，
$ \therefore x = \frac{a}{2} $ 时，$ y $ 有最大值，$ \therefore $ 当 $ BE $ 为 $ \frac{a}{2} $ 时，矩形 $ EFGH $ 的面积最大。