《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题4】如图,在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ}$,$\sin A= \frac{2}{3}$,$AB= 12$,求$BC$的长.

解:设BC的长为x,由正弦定义,得$sinA=\frac {BC}{AB}$,代入数据解得$x=$8,$\therefore BC$的长为8.

答案： 解:设BC的长为x,由正弦定义,得$sinA=\frac {BC}{AB}$,代入数据解得$x=8$,
$\therefore BC$的长为8.

【变式4】如图,在$Rt\triangle ACB$中,$∠C= 90^{\circ}$,$\sin A= \frac{3}{5}$,$BC= 6$,求$\triangle ABC$的面积.


解:由正弦定义,得$sinA=\frac {BC}{AB}$,解得$AB=$10,由勾股定理解得$AC=$8,
$\therefore △ABC$的面积$S=\frac {1}{2}\cdot BC\cdot AC=\frac {1}{2}×6×8=$24.

答案： 解:由正弦定义,得$sinA=\frac {BC}{AB}$,解得$AB=10$,由勾股定理解得$AC=8$,
$\therefore △ABC$的面积$S=\frac {1}{2}\cdot BC\cdot AC=\frac {1}{2}×6×8=24$.

1. 如图,$AB是\odot O$的直径,若$BC= 2$,$AB= 4$,则$\sin A= $$\frac {1}{2}$.

答案： $\frac {1}{2}$

2. (人教九下P65教材改编)在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ}$,若$\triangle ABC$的三边都扩大3倍,则$\sin A$的值(C)
A.放大3倍
B.缩小3倍
C.不变
D.不能确定

答案： C

3. (人教九下教材P69)如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ}$,$CD⊥AB于点D$,下边各组边的比不能表示$\sin B$的是(B)

A.$\frac{AC}{AB}$
B.$\frac{DC}{AC}$
C.$\frac{DC}{BC}$
D.$\frac{AD}{AC}$

答案： B

4. 如图,在网格中,每个小正方形的边长都是1,$\triangle ABC$的顶点都在这些小正方形的顶点上,则$\sin∠BAC$的值为(D)

A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： D

5. (人教九下P63教材改编)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ}$,$a:c= 3:4$,求$\sin A$的值为$\frac{3}{4}$和$\sin B$的值为$\frac{\sqrt{7}}{4}$.

答案： 解:设$a=3x,c=4x$,由勾股定理$a^{2}+b^{2}+c^{2}$,解得$b=\sqrt {7}x$.
由正弦定义,得$sinA=\frac {a}{c}=\frac {3}{4}$,
$sinB=\frac {b}{c}=\frac {\sqrt {7}}{4}$.

6. 如图所示,点$C(4,0)$,$D(0,3)$,$O(0,0)在\odot A$上,$BD是\odot A$的一条弦,则$\sin∠OBD$等于(D)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{3}{5}$

答案： D