《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 如果某抛物线的形状和开口方向与抛物线$y = -2x^2 + 2$相同,且该抛物线的顶点坐标是$(5,-1)$,那么它的解析式是(B)
A.$y = 2(x - 5)^2 - 1$
B.$y = -2(x - 5)^2 - 1$
C.$y = -2(x - 5)^2 + 1$
D.$y = -2(x + 5)^2 - 1$

答案： B

2. 一个二次函数,当自变量$x = 0$时,函数值为$y = -1$；当$x = -2或x = \frac{1}{2}$时,$y = 0$. 求这个二次函数的解析式.
解：根据题意，设二次函数解析式为 $ y = a(x + 2) \cdot (x - \frac{1}{2}) $，将点 $ (0, -1) $ 代入，得 $ -a = -1 $，即 $ a = 1 $，则二次函数解析式为 $ y = (x + 2)(x - \frac{1}{2}) $，即 $ y = x^2 + \frac{3}{2}x - 1 $。

答案： 解：根据题意，设二次函数解析式为 $ y = a(x + 2) \cdot (x - \frac{1}{2}) $，将点 $ (0, -1) $ 代入，得 $ -a = -1 $，即 $ a = 1 $，则二次函数解析式为 $ y = (x + 2)(x - \frac{1}{2}) $，即 $ y = x^2 + \frac{3}{2}x - 1 $。

3. 已知抛物线经过点$(1,9)$,当$x ＞ 3$时,$y随x$的增大而增大；当$x ＜ 3$时,$y随x$的增大而减小,且函数的最小值为$1$,求抛物线的解析式.

答案： 解：依题意得，设抛物线的解析式为 $ y = a(x - 3)^2 + 1 $，将点 $ (1, 9) $ 代入上式，得 $ a(1 - 3)^2 + 1 = 9 $，解得 $ a = 2 $，
故抛物线解析式为 $ y = 2(x - 3)^2 + 1 $，即 $ y = 2x^2 - 12x + 19 $。

4. 已知抛物线与$x轴的交点是A(-3,0)$,$B(1,0)$,经过点$C(0,-3)$.
(1) 求该抛物线的解析式；
(2) 设该抛物线的顶点为$M$,求$\triangle ABM$的面积.

答案： 解：
(1) 设抛物线的解析式为 $ y = a(x + 3)(x - 1) $，把点 $ C(0, -3) $ 代入，得 $ a \cdot 3 \cdot (-1) = -3 $，解得 $ a = 1 $，
∴ 抛物线的解析式为 $ y = (x + 3)(x - 1) $，即 $ y = x^2 + 2x - 3 $；
(2) $ y = x^2 + 2x - 3 = (x + 1)^2 - 4 $，则顶点坐标为 $ M(-1, -4) $，
∴ $ S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} × (1 + 3) × 4 = 8 $。

5. (综合运用)如图,四边形$ABCD$是菱形,点$D的坐标是(0,\sqrt{3})$,以点$C为顶点的抛物线y = ax^2 + bx + c恰好经过x轴上A$,$B$两点.
(1) 求$A$,$B$,$C$三点的坐标；$A$(1, 0)，$B$(3, 0)，$C$(2, \sqrt{3})
(2) 求经过$A$,$B$,$C$三点的抛物线的解析式.$ y = -\sqrt{3}(x - 2)^2 + \sqrt{3} $

答案： 解：
(1) 由抛物线的对称性可知 $ AE = BE $。在 $ Rt\triangle AOD $ 和 $ Rt\triangle BEC $ 中，
∵ $ OD = EC $，$ AD = BC $，
∴ $ Rt\triangle AOD \cong Rt\triangle BEC(HL) $。
∴ $ OA = BE = AE $。设菱形的边长为 $ 2m $。在 $ Rt\triangle AOD $ 中，$ OD = \sqrt{3} $，
∴ $ m^2 + (\sqrt{3})^2 = (2m)^2 $。解得 $ m = 1 $。
∴ $ DC = 2 $，$ AO = 1 $，$ OB = 3 $。
∴ $ A(1, 0) $，$ B(3, 0) $，$ C(2, \sqrt{3}) $。
(2) 设抛物线的解析式为 $ y = a(x - 2)^2 + \sqrt{3} $，将点 $ A(1, 0) $ 代入上式，得 $ a \cdot (1 - 2)^2 + \sqrt{3} = 0 $。解得 $ a = -\sqrt{3} $。
∴ 抛物线的解析式为 $ y = -\sqrt{3}(x - 2)^2 + \sqrt{3} $。

6. (核心素养)如图,抛物线$y = ax^2 + bx + c与x轴相交于A(-1,0)$,$B(4,0)$两点,与$y轴相交于点C(0,2)$.
(1) 求抛物线的解析式；
解：∵ 抛物线过点 $ A(-1, 0) $，$ B(4, 0) $，
∴ 设 $ y = a(x + 1)(x - 4) $。
又 ∵ 抛物线过点 $ C(0, 2) $，
∴ $ 2 = a \cdot 1 \cdot (-4) $，解得 $ a = $$-\frac{1}{2}$，
∴ 抛物线的解析式为 $ y = $$-\frac{1}{2}(x + 1)(x - 4)$，即 $ y = $$-\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 2$；
(2) 判定$\triangle ABC$的形状.
解：∵ $ AB = 5 $，$ AC = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = $$\sqrt{5}$，$ BC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = $$2\sqrt{5}$，
∴ $ AB^2 = AC^2 + BC^2 $，
∴ $ \triangle ABC $ 为直角三角形。

答案： 解：
(1)
∵ 抛物线过点 $ A(-1, 0) $，$ B(4, 0) $，
∴ 设 $ y = a(x + 1)(x - 4) $。
又
∵ 抛物线过点 $ C(0, 2) $，
∴ $ 2 = a \cdot 1 \cdot (-4) $，解得 $ a = -\frac{1}{2} $，
∴ 抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)(x - 4) $，即 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 2 $；
(2)
∵ $ AB = 5 $，$ AC = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{5} $，$ BC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = 2\sqrt{5} $，
∴ $ AB^2 = AC^2 + BC^2 $，
∴ $ \triangle ABC $ 为直角三角形。