《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题1】一个高尔夫球在地面O点击出,球的飞行路线是抛物线$y= -\frac {1}{3}x^{2}+\frac {8}{3}x$,其中y(单位:m)是球的飞行高度,x(单位:m)是球飞出的水平距离,如图所示.
(1)求球飞行过程中的最大高度;$\frac{16}{3}\mathrm{m}$
(2)求球飞行过程中的最大水平距离;$8\mathrm{m}$

答案： 解:
(1)由题意，可得 $ y_{\max }=\frac{4 a c-b^{2}}{4 a} $
$ =\frac{4 ×\left(-\frac{1}{3}\right) × 0-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}}{4 ×\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{16}{3} $
∴球飞行过程中的最大高度为 $ \frac{16}{3} \mathrm{~m} $;
(2)令 $ y=0 $，则 $ -\frac{1}{3} x^{2}+\frac{8}{3} x=0 $，解得 $ x_{1}=0 $ (舍去)， $ x_{2}=8 $，即球飞行过程中的最大水平距离为 $ 8 \mathrm{~m} $.

【变式1】(2024·广州期中)掷实心球是广州市中考体育考试的选考项目,如图1是一名男生投实心球,实心球行进路线是一条抛物线,行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示,掷出时起点处高度为1.65m,当水平距离为$\frac {9}{2}m$时,实心球行进至最高点3m处.

(1)求y关于x的函数表达式;
解:根据题意可设 $ y=a\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}+3(a \neq 0) $
∵抛物线过点 $ (0,1.65) $
$ \therefore 1.65=a\left(0-\frac{9}{2}\right)^{2}+3 $，解得 $ a= $$ -\frac{1}{15} $
$ \therefore y= $$ -\frac{1}{15}\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}+3 $;
(2)根据广州市中考体育考试掷实心球项目(男生)评分标准,投掷过程中,实心球从起点到落地点的水平距离大于等于11m时,得分为满分.请计算说明该男生在此项考试中是否得满分.(参考数值:$\sqrt {2}\approx 1.414,\sqrt {3}\approx 1.732,\sqrt {5}\approx 2.236)$
解:令 $ y=0 $，即 $ -\frac{1}{15}\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}+3=0 $
解得 $ x_{1}= $$ \frac{9}{2}+3 \sqrt{5} $， $ x_{2}= $$ \frac{9}{2}-3 \sqrt{5} $(不合题意，舍去)
$ \because $$ \frac{9}{2}+3 \sqrt{5} \approx 11.208＞11 $
∴该男生在此项考试中得满分.

答案： 解:
(1)根据题意可设 $ y=a\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}+3(a \neq 0) $
∵抛物线过点 $ (0,1.65) $
$ \therefore 1.65=a\left(0-\frac{9}{2}\right)^{2}+3 $，解得 $ a=-\frac{1}{15} $
$ \therefore y=-\frac{1}{15}\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}+3 $;
(2)令 $ y=0 $，即 $ -\frac{1}{15}\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}+3=0 $
解得 $ x_{1}=\frac{9}{2}+3 \sqrt{5} $， $ x_{2}=\frac{9}{2}-3 \sqrt{5} $ (不合题意，舍去)
$ \because \frac{9}{2}+3 \sqrt{5} \approx 11.208＞11 $
∴该男生在此项考试中得满分.

【例题2】(人教九上P51教材改编)如图是抛物线形拱桥的横截面,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,若水面上升1m,求此时的水面宽.(建立适当的坐标系)

答案：
解:建立坐标系如图所示.

由题知点 $ C, A, B $ 的坐标分别为 $ C(0,2) $， $ A(-2,0) $， $ B(2,0) $
设此抛物线的解析式为 $ y=a x^{2}+2 $，将点 $ A $ 的坐标代入，得 $ a=-\frac{1}{2} $
$ \therefore $抛物线的解析式为 $ y=-\frac{1}{2} x^{2}+2 $
当水面上升 $ 1 \mathrm{~m} $，即 $ y=-\frac{1}{2} x^{2}+2=1 $，解得 $ x_{1}=-\sqrt{2} $， $ x_{2}=\sqrt{2} $，此时水面宽为 $ 2 × \sqrt{2}=2 \sqrt{2} $ (m)
答:若水面上升 $ 1 \mathrm{~m} $，水面宽为 $ 2 \sqrt{2} \mathrm{~m} $.

【变式2】如图,有一个抛物线形的拱形桥洞,桥洞离水面的最大高度为4m,跨度为10m,把它的图形放在直角坐标系中.
(1)求这条抛物线所对应的函数解析式;$ y=-\frac{4}{25}(x-5)^{2}+4 $
(2)在对称轴右边1m处,桥洞离水面的高是多少?$ \frac{96}{25} \mathrm{~m} $

答案： 解:
(1)设这条抛物线所对应的函数解析式是 $ y=a(x-5)^{2}+4 $，该函数过点 $ (0,0) $
$ \therefore 0=a(0-5)^{2}+4 $，解得 $ a=-\frac{4}{25} $
即这条抛物线所对应的函数解析式是 $ y=-\frac{4}{25}(x-5)^{2}+4 $;
(2)当 $ x=6 $ 时， $ y=-\frac{4}{25}(6-5)^{2}+4=\frac{96}{25} $
即在对称轴右边 $ 1 \mathrm{~m} $ 处，桥洞离水面的高是 $ \frac{96}{25} \mathrm{~m} $.