《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$,通过适当的变形,可以将方程左边构造成符合完全平方公式的形式,如：$(ax\pm h)^{2}= k(k≥0)$.
应用公式$a^{2}\pm 2ab+b^{2}= (a\pm b)^{2}$填空：
1. $x^{2}+6x+$9$=(x+$3$)^{2}$；
2. $x^{2}-4x+$4$=(x-$2$)^{2}$；
3. $x^{2}+x+$$\frac{1}{4}$$=(x+$$\frac{1}{2}$$)^{2}$.

答案： 1.
(1) 9 3
(2) 4 2
(3) $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{2}$

【例题1】用配方法解方程：$x^{2}+4x+1= 0$.

答案： 解：$x^{2}+4x=-1$，
$x^{2}+4x+4=-1+4$，
$(x+2)^{2}=3$，
$x+2=\pm\sqrt{3}$，
解得 $x_{1}=-2-\sqrt{3},x_{2}=-2+\sqrt{3}$。

【变式1】用配方法解方程：$x^{2}-8x= 1$.

答案： 解：$x^{2}-8x+16=1+16$，
$(x-4)^{2}=17$，
$x-4=\pm\sqrt{17}$，
解得 $x_{1}=4-\sqrt{17},x_{2}=4+\sqrt{17}$。

【例题2】用配方法解方程：$x^{2}+4-5x= 0$.

答案： 解：$x^{2}-5x=-4$，
$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$，
$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$，
$x-\frac{5}{2}=\pm\frac{3}{2}$，
解得 $x_{1}=4,x_{2}=1$。

【变式2】用配方法解方程：$x^{2}-3x-4= 0$.

答案： 解：$x^{2}-3x=4$，
$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$，
$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$，
$x-\frac{3}{2}=\pm\frac{5}{2}$，
解得 $x_{1}=4,x_{2}=-1$。

【例题3】用配方法解方程：$2x^{2}-4x-1= 0$.

答案： 解：$2x^{2}-4x=1$，
$x^{2}-2x=\frac{1}{2}$，
$x^{2}-2x+1=\frac{1}{2}+1$，
$(x-1)^{2}=\frac{3}{2}$，
$x-1=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}$，
解得 $x_{1}=1+\frac{\sqrt{6}}{2},x_{2}=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$。

【变式3】用配方法解方程：$3x^{2}+9x-12= 0$.

答案： 解：$3x^{2}+9x=12$，
$x^{2}+3x=4$，
$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$，
$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$，
$x+\frac{3}{2}=\pm\frac{5}{2}$，
解得 $x_{1}=1,x_{2}=-4$。