《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

用公式法解方程：$ 3x^{2} = 2 + 2x $.

答案： 解：原方程整理，得
3 x ^ { 2 } - 2 x - 2 = 0 ，
∵ a = 3 ， b = - 2 ， c = - 2 ，
∴$ \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = 28 ＞ 0 ，$
∴$ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { 2 \pm 2 \sqrt { 7 } } { 6 } ，$
∴$ x _ { 1 } = \frac { 1 + \sqrt { 7 } } { 3 } ，$$ x _ { 2 } = \frac { 1 - \sqrt { 7 } } { 3 } .$

1. 用公式法解一元二次方程 $ 3x^{2}-2 = x $,下列说法正确的是(A)
A.化成一般形式为 $ 3x^{2}-x - 2 = 0 $
B.$ a = 3 $,$ b = 1 $,$ c = -2 $
C.判别式 $ \Delta = -23 $
D.$ x_{1} = 1 $,$ x_{2} = -\frac{5}{6} $

答案： 1. A

2. 解方程：$ 3x^{2}+4x = 2 $.

答案： 2. 解：原方程化为 $$ 3 x ^ { 2 } + 4 x - 2 = 0 $$，
∵ $$ a = 3 $$，$$ b = 4 $$，$$ c = - 2 $$，
∴ $$ \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = 4 ^ { 2 } - 4 × 3 × ( - 2 ) = 40 ＞ 0 $$，
∴ $$ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { - 4 \pm \sqrt { 40 } } { 6 } = \frac { - 2 \pm \sqrt { 10 } } { 3 } $$，
∴ $$ x _ { 1 } = \frac { - 2 + \sqrt { 10 } } { 3 } $$，$$ x _ { 2 } = \frac { - 2 - \sqrt { 10 } } { 3 } $$.

3. (人教九上P11教材改编)用公式法解方程：$ 3x^{2}-\sqrt{2}x + 2 = 0 $.

答案： 3. 解：
∵ $$ a = 3 $$，$$ b = - \sqrt { 2 } $$，$$ c = 2 $$，
∴ $$ \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = 2 - 24 = - 22 ＜ 0 $$，
∴ 方程无实数解.

4. (易错)用公式法解方程：$ \frac{3}{2}y^{2}-1 = 4y $.

答案： 4. 解：原方程整理，得 $$ 3 y ^ { 2 } - 8 y - 2 = 0 $$，
∵ $$ a = 3 $$，$$ b = - 8 $$，$$ c = - 2 $$，
∴ $$ \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = 64 + 24 = 88 ＞ 0 $$，
∴ $$ y = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { 8 \pm \sqrt { 88 } } { 6 } = \frac { 4 \pm \sqrt { 22 } } { 3 } $$，
∴ $$ y _ { 1 } = \frac { 4 + \sqrt { 22 } } { 3 } $$，$$ y _ { 2 } = \frac { 4 - \sqrt { 22 } } { 3 } $$.

5. 已知代数式 $ 2x^{2} $ 与 $ 1 - 2\sqrt{2}x $ 互为相反数,则 $ x $ 的值为$ \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $.

答案： 5. $$ \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $$ 解析：由题意得 $$ 2 x ^ { 2 } + 1 - 2 \sqrt { 2 } x = 0 $$，
∵ $$ a = 2 $$，$$ b = - 2 \sqrt { 2 } $$，$$ c = 1 $$，
∴ $$ \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = 8 - 8 = 0 $$，
∴ $$ x _ { 1 } = x _ { 2 } = - \frac { b } { 2 a } = \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 4 } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $$.

6. 用公式法解一个一元二次方程,根为 $ x = \frac{-5\pm\sqrt{13}}{6} $,则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(C)
A.$ 6 $,$ 5 $,$ 1 $
B.$ 3 $,$ 5 $,$ -1 $
C.$ 3 $,$ 5 $,$ 1 $
D.$ 3 $,$ -5 $,$ 1 $

答案： 6. C

7. (符号意识)对于任意不相等的两个数 $ a $,$ b $,定义一种运算※如下：$ a※b = a^{2}-2ab $,如果 $ x※1 = 1 $,则 $ x $ 的值为$ 1 \pm \sqrt { 2 } $.

答案： 7. $$ 1 \pm \sqrt { 2 } $$ 解析：由题意得 $$ x ※ 1 = x ^ { 2 } - 2 x $$，
∴ 方程为 $$ x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0 $$，解得 $$ x _ { 1 } = 1 + \sqrt { 2 } $$，$$ x _ { 2 } = 1 - \sqrt { 2 } $$.

8. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-ax + 1 = 0 $ 的唯一实数根也是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a - 2)x^{2}+bx + 1 = 0 $ 的根,则关于 $ x $ 的方程 $ (a - 2)x^{2}+bx + 1 = 0 $ 的根为$ x _ { 1 } = - 1 $，$ x _ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } $.

答案： 8. x _ { 1 } = - 1 ，$ x _ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } $