《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

9. (2025·中山一模)如图,由边长为 1 的小正方形构成的网格中,点 $ A $,$ B $,$ C $ 都在格点上,则 $ \cos \angle ADC $ 的值为( )

A.$ \frac{2\sqrt{13}}{13} $
B.$ \frac{3\sqrt{13}}{13} $
C.$ \frac{2}{3} $
D.3

答案：
B 解析:如图,连接AC,

∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是$\overset{\frown}{AC}$,根据圆周角定理的推论知,∠ADC = ∠ABC,在Rt△ACB中,根据锐角三角函数的定义知,
∵AC = 2,BC = 3,
∴AB = $\sqrt{AC^{2} + BC^{2}}$ = $\sqrt{2^{2} + 3^{2}}$ = $\sqrt{13}$.
∴cos∠ADC = cos∠ABC = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{3\sqrt{13}}{13}$.故选A.

10. (2025·湛江一模)$ \odot P $ 经过坐标原点 $ O $,分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于点 $ A $、点 $ B $,点 $ C $ 是 $ \odot P $ 位于第一象限部分上的一点,如图,若点 $ A $ 坐标为 $ (4, 0) $,点 $ B $ 坐标为 $ (0, 3) $,则 $ \cos \angle OCA $ 的值为( )


A.$ \frac{3}{4} $
B.$ \frac{3}{5} $
C.$ \frac{4}{5} $
D.$ \frac{4}{3} $

答案：
B 解析:如图,连接AB,

∵点A坐标为(4,0),点B坐标为(0,3),
∴AB = $\sqrt{3^{2} + 4^{2}}$ = 5,
∵∠ABO = ∠OCA,
∠AOB = 90°,
∴cos∠OCA = cos∠ABO = $\frac{OB}{AB}$ = $\frac{3}{5}$,故选B.

11. (2025·茂名期末) 如图,在 $ 4 × 5 $ 的正方形网格中,每个小正方形的边长都是 1,$ \triangle ABC $ 的顶点都在这些小正方形的顶点上,那么 $ \cos \angle ABC $ 值为(B)

A.$ \frac{4\sqrt{17}}{17} $
B.$ \frac{\sqrt{17}}{17} $
C.$ \frac{3}{5} $
D.$ \frac{4}{5} $

答案： B

12. (2024·福田开学)由小正方形组成的网格如图,$ A $,$ B $,$ C $ 三点都在格点上,则 $ \angle ABC $ 的正切值为(C)

A.$ \frac{\sqrt{5}}{5} $
B.$ \frac{2\sqrt{5}}{5} $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ \frac{\sqrt{5}}{2} $

答案： C

13. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ BC = \sqrt{2} AC $,$ \angle BCA = 135^\circ $,求 $ \tan A $ 的值。

答案：
解:如图,过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D.

∵∠BCA = 135°,则∠BCD = 45°,
∴BD = CD = $\frac{\sqrt{2}}{2}$BC,
设AC = k,BC = $\sqrt{2}$AC = $\sqrt{2}$k,则BD = CD = k,AD = 2k,
∴tanA = $\frac{BD}{AD}$ = $\frac{1}{2}$.

14. 如图,三条笔直公路两两相交,交点分别为点 $ A $,$ B $,$ C $,测得 $ \angle CAB = 30^\circ $,$ \angle ABC = 45^\circ $,$ AC = 8 $ 千米,求 $ A $,$ B $ 两点间的距离。(参考数据：$ \sqrt{2} \approx 1.41 $,$ \sqrt{3} \approx 1.73 $,结果取整数)

答案：
解:如图,过点C作CD⊥AB于点D.

在Rt△ACD中,AC = 8千米,
∠CAD = 30°,∠CDA = 90°,
∴CD = $\frac{1}{2}$AC = 4(千米),
AD = AC·cos∠CAD = 4$\sqrt{3}$ ≈ 6.9千米.
在Rt△BCD中,CD = 4千米,
∠BDC = 90°,∠CBD = 45°,
∴∠BCD = 45°,
∴BD = CD = 4千米,
∴AB = AD + BD = 6.92 + 4 ≈ 11千米.
答:A,B两点间的距离约为11千米.