《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题1】已知$\alpha$为锐角,$\tan\alpha=\frac{3}{4}$,则$\sin\alpha =$(C)
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{3}{4}$

答案： [例题1]C

【变式1】如图,$A为\angle\alpha$边上的任意一点,过点$A作AC\perp BC于点C$,过点$C作CD\perp AB于点D$,下列用线段比表示$\cos\alpha$的值,错误的是(C)

A.$\frac{BD}{BC}$
B.$\frac{BC}{AB}$
C.$\frac{AD}{DC}$
D.$\frac{CD}{AC}$

答案： [变式1]C

【例题2】(1)$\sin 60^{\circ}+\tan 45^{\circ}$的值等于$1+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
(2)若$\tan A = 1$,则锐角$\angle A = $$45^{\circ}$,$\cos A = $$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

答案： [例题2]
(1)$1+\frac{\sqrt{3}}{2}$
(2)$45^{\circ}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$

【变式2】在$\triangle ABC$中,$\angle A$,$\angle B$均为锐角,且有$|\tan A-\sqrt{3}|+(\cos B-\frac{1}{2})^{2}= 0$,则$\triangle ABC$是等边三角形。

答案： [变式2]等边

【例题3】在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A = 45^{\circ}$,$AC= \sqrt{2}$,解这个直角三角形。
解:依题意,得$∠B = 90^{\circ}-∠A = $$45^{\circ}$，
$\therefore AC = BC=$$\sqrt{2}$.
$\because \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{AB}=$$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得$AB = $$2$.

答案： [例题3]解:依题意,得$∠B = 90^{\circ}-∠A = 45^{\circ}$，
$\therefore AC = BC=\sqrt{2}$.
$\because \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得$AB = 2$.

【变式3】在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$a:c= \sqrt{3}:2$,$b = 6$,解这个直角三角形。
解:设$a=\sqrt{3}x$，$c = 2x$.
在$Rt\triangle ABC$中,由勾股定理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
即$3x^{2}+36 = 4x^{2}$，解得$x = 6$，
$\therefore a = 6\sqrt{3}$，$c = 12$，
$\because \sin A=\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore ∠A = 60^{\circ}$，
$\therefore ∠B = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$.

答案： [变式3]解:设$a=\sqrt{3}x$，$c = 2x$.
在$Rt\triangle ABC$中,由勾股定理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
即$3x^{2}+36 = 4x^{2}$，解得$x = 6$，
$\therefore a = 6\sqrt{3}$，$c = 12$，
$\because \sin A=\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore ∠A = 60^{\circ}$，
$\therefore ∠B = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$.

【例题4】(人教九下P76)如图,沿AC方向开山修路。为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工。从AC上的一点B取$\angle ABD = 140^{\circ},BD = 520m,\angle D = 50^{\circ}。$那么另一边开挖点E离D多远正好使A,C,E三点在一直线上(结果保留小数点后一位)？(参考数据：$\sin 50^{\circ}\approx 0.77,\cos 50^{\circ}\approx 0.64,\tan 50^{\circ}\approx 1.19)$解$:\because ∠D = 50^{\circ}，$$∠ABD = 140^{\circ}，$$\therefore ∠DEB = ∠ABD - ∠D = 140^{\circ}-50^{\circ}=90^{\circ}.$在$Rt\triangle DEB$中，$\cos D=\frac{DE}{BD}，$BD = 520m，$\therefore DE = BD\cdot\cos D\approx520×0.64 = $332.8(m).答:另一边开挖点E离D约332.8m正好使A，C，E三点在一直线上.

答案： [例题4]解:$\because ∠D = 50^{\circ}$，$∠ABD = 140^{\circ}$，
$\therefore ∠DEB = ∠ABD - ∠D = 140^{\circ}-50^{\circ}=90^{\circ}$.
在$Rt\triangle DEB$中，$\cos D=\frac{DE}{BD}$，$BD = 520m$，
$\therefore DE = BD\cdot\cos D\approx520×0.64 = 332.8(m)$.
答:另一边开挖点$E$离$D$约$332.8m$正好使$A$，$C$，$E$三点在一直线上.

【变式4】如图,为了游客的安全,某景点将原坡角为$30^{\circ}的斜坡AB改为坡度为1:3的斜坡AC$,已知$AB = 100m$,点$B$,$C$在同一水平线上,求改造后斜坡的坡脚向前移动的距离$BC$。

答案：
[变式4]解:如图,作$AD⊥BC$于点$D$.

在$Rt\triangle ABD$中，
$∠ABD = 30^{\circ}$，
$\therefore AD = AB\cdot\sin∠ABD = 100\cdot\sin30^{\circ}=50(m)$，
$BD = AB\cdot\cos∠ABD = 100\cdot\cos30^{\circ}=50\sqrt{3}(m)$.
$\because AC$的坡度为$1:3$，
$\therefore AD:CD = 1:3$，
$\therefore CD = 3AD = 150(m)$，
$\therefore BC = CD - BD=(150 - 50\sqrt{3})m$，
答:改造后斜坡的坡角向前移动的距离$BC$是$(150 - 50\sqrt{3})m$.