《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题5】如图,点$E的坐标为(-4,2)$,点$F的坐标为(-1,-1)$,以点$O$为位似中心,按相似比$1:2把\triangle EFO$缩小,点$E的对应点E_1$的坐标为(C)

A.$(-2,1)$
B.$(2,-1)$
C.$(2,-1)或(-2,1)$
D.$(8,-4)或(-8,4)$

答案： C 解析:当点$E_{1}$在第二象限时,坐标为$\left( -4×\frac{1}{2},2×\frac{1}{2}\right)$,即$(-2,1)$;当点$E_{1}$在第四象限时,坐标为$\left \lbrack -4×\left( -\frac{1}{2}\right),2×\left( -\frac{1}{2}\right)\right\rbrack$,即$(2,-1)$.故选C.

【变式5】如图,$\triangle A'B'C'是\triangle ABC以点O$为位似中心经过位似变换得到的,若$\triangle A'B'C'的面积与\triangle ABC的面积比是4:9$,则$OB':OB= $$2:3$。

答案： $2:3$

1. 如图,$AB为\odot O$的直径,$C为\odot O$上一点,$AD和过点C$的直线互相垂直,垂足为$D$,且$AC平分\angle DAB$。
(1)求证：$DC为\odot O$的切线；
(2)若$\odot O的半径为6$,$AD= 8$,求$AC$的长。

答案：

(1)证明:如图,连接$OC$.
$\because OC=OA$,$\therefore\angle OAC=\angle OCA$,
$\because AC$平分$\angle DAB$,$\therefore\angle OAC=\angle DAC$,
$\therefore\angle DAC=\angle OCA$,$\therefore OC// AD$.
$\because AD\perp CD$,
$\therefore OC\perp CD$,且$OC$为$\odot O$的半径,
即$DC$为$\odot O$的切线;

(2)解:如图,连接$BC$.
易得$\triangle ADC\backsim\triangle ACB$,$\therefore\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$.
$\because\odot O$的半径为$6$,
$\therefore AB=12$.
又$\because AD=8$,
$\therefore AC=4\sqrt{6}$.

2. 如图,直线$y= -x+3交x轴于点A$,交$y轴于点B$,抛物线$y= ax^2+bx+c经过A$,$B$,$C(1,0)$三点。
(1)抛物线的解析式为____；
(2)若点$D的坐标为(-1,0)$,在直线$y= -x+3上有一点P$,使$\triangle ABO与\triangle ADP$相似,求出点$P$的坐标。

答案：

(1)$y=x^{2}-4x+3$
(2)解:当$y=0$时,$-x+3=0$,
$\therefore x=3$,$\therefore A(3,0)$,
当$x=0$时,$y=-0+3=3$,$\therefore B(0,3)$,
$\therefore\triangle ABO$为等腰直角三角形,
若$\triangle ABO\backsim\triangle AP_{1}D$,则$\frac{AO}{AD}=\frac{OB}{DP_{1}}$,
$\therefore DP_{1}=AD=4$.$\therefore P_{1}(-1,4)$,
若$\triangle ABO\backsim\triangle ADP_{2}$,
如图,过点$P_{2}$作$P_{2}M\perp x$轴于点$M$,$AD=4$,

$\because\triangle ABO$为等腰直角三角形,
$\therefore\triangle ADP_{2}$是等腰直角三角形.
由三线合一可得$DM=AM=2=P_{2}M$,即点$M$与点$C$重合.
$\therefore P_{2}(1,2)$.
综上所述,点$P$的坐标为$(-1,4)$或$(1,2)$.