《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、预备知识
如图.

$OA= $2；
$BC= $3；
$S_{△OAB}= $3.

答案： 2 3 3

二、新课学习
求直线$y= -x+5与双曲线y= \frac{4}{x}$的交点坐标.(1,4)，(4,1)

答案： 解：将直线 $ y = -x + 5 $ 与双曲线 $ y = \frac{4}{x} $ 联立，得
$\begin{cases}y = -x + 5 \\y = \frac{4}{x}\end{cases}$
解得
$\begin{cases}x_1 = 1 \\y_1 = 4\end{cases}$
$\begin{cases}x_2 = 4 \\y_2 = 1\end{cases}$
∴ 交点坐标为 $ (1,4) $，$ (4,1) $。

【例题1】如图,已知点$A(-4,2)$,$B(n,-4)是一次函数y= kx+b和反比例函数y= \frac{m}{x}$的图象的两个交点.
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式；
一次函数的解析式为$y=-x-2$，反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$；
(2) 求$△AOB$的面积；
$△AOB$的面积为6；
(3) 根据图象直接写出关于$x的不等式kx+b＞\frac{m}{x}$的解集.
不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的解集为$x＜-4$或$0＜x＜2$.

答案： 解：
(1)
∵ 点 $ A(-4,2) $ 在反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的图象上，
∴ $ m = -4 × 2 = -8 $，
∴ 反比例函数的解析式为 $ y = -\frac{8}{x} $。
把点 $ B(n,-4) $ 代入 $ y = -\frac{8}{x} $，得 $ n = 2 $，
故点 $ B $ 的坐标为 $ (2,-4) $。
把点 $ A $，$ B $ 的坐标代入 $ y = kx + b $，得
$\begin{cases}-4k + b = 2 \\2k + b = -4\end{cases}$
解得
$\begin{cases}k = -1 \\b = -2\end{cases}$
∴ 一次函数的解析式为 $ y = -x - 2 $；
(2) $ y = -x - 2 $ 中，令 $ y = 0 $，则 $ x = -2 $，
即直线 $ y = -x - 2 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ C(-2,0) $，
∴ $ S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC} + S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} × 2 × 2 + \frac{1}{2} × 2 × 4 = 6 $；
(3) 由题图可得，不等式 $ kx + b ＞ \frac{m}{x} $ 的解集为 $ x ＜ -4 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 2 $。

【变式1】如图,一次函数$y= kx+b与反比例函数y= \frac{4}{x}(x＞0)的图象交于A(m,4)$,$B(2,n)$两点,与坐标轴分别交于$M$,$N$两点.
(1) 求一次函数的解析式；$y = -2x + 6$
(2) 根据图象直接写出满足$kx+b-\frac{4}{x}＞0的x$的取值范围；$1 ＜ x ＜ 2$
(3) 求$△AOB$的面积.3

答案： 解：
(1)
∵ 点 $ A $ 在反比例函数 $ y = \frac{4}{x} $ 的图象上，
∴ $ \frac{4}{m} = 4 $，解得 $ m = 1 $，
∴ 点 $ A $ 的坐标为 $ (1,4) $。
又
∵ 点 $ B $ 也在反比例函数 $ y = \frac{4}{x} $ 的图象上，
∴ $ \frac{4}{2} = n $，解得 $ n = 2 $，
∴ 点 $ B $ 的坐标为 $ (2,2) $。
又
∵ 点 $ A $，$ B $ 在 $ y = kx + b $ 的图象上，
∴
$\begin{cases}k + b = 4 \\2k + b = 2\end{cases}$
解得
$\begin{cases}k = -2 \\b = 6\end{cases}$
∴ 一次函数的解析式为 $ y = -2x + 6 $；
(2)
∵ $ kx + b - \frac{4}{x} ＞ 0 $，
∴ $ kx + b ＞ \frac{4}{x} $，
由题图可知，$ x $ 的取值范围为 $ 1 ＜ x ＜ 2 $；
(3)
∵ 直线 $ y = -2x + 6 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ N $，
∴ 点 $ N $ 的坐标为 $ (3,0) $，
$ S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AON} - S_{\triangle BON} = \frac{1}{2} × 3 × 4 - \frac{1}{2} × 3 × 2 = 3 $。

【例题2】如图,一次函数$y= -x+4的图象与反比例函数y= \frac{k}{x}$($k$为常数,且$k≠0$)的图象交于$A(1,a)$,$B$两点.
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 求点$B$的坐标；
(3) 在$x轴上找一点P$,使$PA+PB$的值最小,求满足条件的点$P$的坐标.
求$PA+PB$最小时,点$P$的坐标

答案：
解：
(1) 把点 $ A(1,a) $ 代入一次函数 $ y = -x + 4 $，得 $ a = -1 + 4 = 3 $，
∴ 点 $ A $ 的坐标为 $ (1,3) $。
把点 $ A(1,3) $ 代入反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $，
得 $ k = 3 $，
∴ 反比例函数的解析式为 $ y = \frac{3}{x} $；
(2) 联立
$\begin{cases}y = -x + 4 \\y = \frac{3}{x}\end{cases}$
解得
$\begin{cases}x = 1 \\y = 3\end{cases}$
或
$\begin{cases}x = 3 \\y = 1\end{cases}$
∴ 点 $ B $ 的坐标为 $ (3,1) $；
(3) 作点 $ B $ 关于 $ x $ 轴的对称点 $ D $，交 $ x $ 轴于点 $ C $，连接 $ AD $，交 $ x $ 轴于点 $ P $，连接 $ PB $，此时 $ PA + PB $ 的值最小，如图所示。

∵ 点 $ B $，$ D $ 关于 $ x $ 轴对称，点 $ B $ 的坐标为 $ (3,1) $，
∴ 点 $ D $ 的坐标为 $ (3,-1) $。
设直线 $ AD $ 的解析式为 $ y = mx + n $，
把 $ A $，$ D $ 两点的坐标代入，得
$\begin{cases}m + n = 3 \\3m + n = -1\end{cases}$
解得
$\begin{cases}m = -2 \\n = 5\end{cases}$
∴ 直线 $ AD $ 的解析式为 $ y = -2x + 5 $。
令 $ y = -2x + 5 $ 中 $ y = 0 $，则 $ -2x + 5 = 0 $，
解得 $ x = \frac{5}{2} $，
∴ 点 $ P $ 的坐标为 $ (\frac{5}{2},0) $。

【变式2】已知反比例函数$y= \frac{k}{x}和一次函数y= x-1$,其中一次函数的图象过$(3a,b)$,$(3a+1,b+\frac{k}{3})$两点.
(1) 求反比例函数的解析式；

答案：
解：
(1) 把 $ (3a,b) $，$ (3a + 1,b + \frac{k}{3}) $ 代入 $ y = x - 1 $ 中，得
$\begin{cases}b = 3a - 1 \\b + \frac{k}{3} = 3a + 1 - 1\end{cases}$
解得 $ k = 3 $，
∴ 反比例函数的解析式为 $ y = \frac{3}{x} $；
(2) 存在。
如图，作点 $ B $ 关于 $ y $ 轴的对称点 $ B' $，连接 $ AB' $ 交 $ y $ 轴于点 $ P $，连接 $ BP $，此时 $ AP + BP $ 的值最小，即 $ \triangle ABP $ 的周长最小，

由题意得
$\begin{cases}y = \frac{3}{x} \\y = 3x\end{cases}$
解得
$\begin{cases}x = 1 \\y = 3\end{cases}$
或
$\begin{cases}x = -1 \\y = -3\end{cases}$
∴ 点 $ B $ 的坐标为 $ (1,3) $，
由题意得
$\begin{cases}y = \frac{3}{x} \\y = \frac{1}{3}x\end{cases}$
解得
$\begin{cases}x = 3 \\y = 1\end{cases}$
或
$\begin{cases}x = -3 \\y = -1\end{cases}$
∴ 点 $ A $ 的坐标为 $ (3,1) $，
∴ $ AB = 2\sqrt{2} $，
∵ 点 $ B $ 与点 $ B' $ 关于 $ y $ 轴对称，
∴ $ B'(-1,3) $，$ BP = B'P $，
∴ $ AB' = 2\sqrt{5} $，
∴ $ AP + BP = AP + B'P = AB' = 2\sqrt{5} $，
∴ $ AP + BP $ 的最小值为 $ 2\sqrt{5} $，
∴ $ \triangle ABP $ 周长的最小值为 $ 2\sqrt{5} + 2\sqrt{2} $。

1. 如图,一次函数$y= -x+3的图象与反比例函数y= \frac{k}{x}(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,a)和B$两点,与$x轴交于点C$.

(1) 求反比例函数的解析式；$y = \frac{2}{x}$
(2) 若点$P在x$轴上,且$△APC$的面积为5,求点$P$的坐标；$(-2,0)$或$(8,0)$
(3) 直接写出$x＞0$时,关于$x的不等式-x+3＜\frac{k}{x}$的解集.$0 ＜ x ＜ 1$或$x ＞ 2$

答案： 解：
(1) 把点 $ A(1,a) $ 代入 $ y = -x + 3 $，得 $ a = 2 $，
∴ 点 $ A $ 的坐标为 $ (1,2) $。
把点 $ A(1,2) $ 代入反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $，
∴ $ k = 1 × 2 = 2 $，
∴ 反比例函数的解析式为 $ y = \frac{2}{x} $；
(2)
∵ 一次函数 $ y = -x + 3 $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ C $，
∴ 点 $ C $ 的坐标为 $ (3,0) $。
设点 $ P $ 的坐标为 $ (x,0) $，
∴ $ PC = |3 - x| $，
∴ $ S_{\triangle APC} = \frac{1}{2}|3 - x| × 2 = 5 $，
解得 $ x = -2 $ 或 $ x = 8 $，
∴ 点 $ P $ 的坐标为 $ (-2,0) $ 或 $ (8,0) $；
(3) 联立
$\begin{cases}y = \frac{2}{x} \\y = -x + 3\end{cases}$
解得
$\begin{cases}x = 1 \\y = 2\end{cases}$
或
$\begin{cases}x = 2 \\y = 1\end{cases}$
∴ 点 $ B $ 的坐标为 $ (2,1) $。
∴ 不等式 $ -x + 3 ＜ \frac{k}{x} $ 的解集是 $ 0 ＜ x ＜ 1 $ 或 $ x ＞ 2 $。

2. 如图,在平面直角坐标系中,正比例函数$y= kx(k＞0)与反比例函数y= \frac{3}{x}的图象分别交于A$,$C$两点,已知点$B与点D关于原点O$对称,且点$B的坐标为(m,0)$,其中$m＞0$. 连接$AB$,$BC$,$CD$,$AD$.

(1) 四边形$ABCD$是平行四边形；
(2) 当点$A的坐标为(n,3)$时,四边形$ABCD$是矩形,求$m$,$n$的值；
(3) 试探究：随着$k与m$的变化,四边形$ABCD$能不能成为菱形？若能,请直接写出$k$的值；若不能,请说明理由.

答案： 解：
(1) 平行四边形
(2)
∵ 点 $ A(n,3) $ 在反比例函数 $ y = \frac{3}{x} $ 的图象上，
∴ $ 3n = 3 $，解得 $ n = 1 $，
∴ 点 $ A $ 的坐标为 $ (1,3) $，
∴ $ OA = \sqrt{10} $。
∵ 四边形 $ ABCD $ 为矩形，
∴ $ OA = \frac{1}{2}AC $，$ OB = \frac{1}{2}BD $，$ AC = BD $。
∴ $ OB = OA = \sqrt{10} $，
∴ $ m = \sqrt{10} $；
(3) 四边形 $ ABCD $ 不能成为菱形。理由如下：
∵ 点 $ A $ 在第一象限内，点 $ B $ 在 $ x $ 轴的正半轴上，
∴ $ \angle AOB ＜ 90^{\circ} $，
∴ $ AC $ 与 $ BD $ 不可能互相垂直。
∴ 四边形 $ ABCD $ 不能成为菱形。

3. 如图,一次函数$y= k_1x+b的图象与反比例函数y= \frac{k_2}{x}的图象相交于A$,$B$两点,其中点$A的坐标为(-1,4)$,点$B的坐标为(4,n)$.
(1) 根据图象,直接写出满足$k_1x+b＞\frac{k_2}{x}的x$的取值范围；
(2) 求这两个函数的解析式；
(3) 若点$P在线段AB$上,且$S_{△AOP}:S_{△BOP}= 1:2$,求点$P$的坐标.

答案：
解：
(1) 由图象得，当 $ k_1x + b ＞ \frac{k_2}{x} $ 时，$ x ＜ -1 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 4 $；
(2)
∵ 反比例函数 $ y = \frac{k_2}{x} $ 的图象经过点 $ A(-1,4) $，$ B(4,n) $，
∴ $ k_2 = -1 × 4 = -4 = 4n $，
∴ $ n = -1 $，
∴ 点 $ B $ 的坐标为 $ (4,-1) $。
将 $ A(-1,4) $，$ B(4,-1) $ 代入 $ y = k_1x + b $，
得
$\begin{cases}-k_1 + b = 4 \\4k_1 + b = -1\end{cases}$
解得
$\begin{cases}k_1 = -1 \\b = 3\end{cases}$
∴ 一次函数的解析式为 $ y = -x + 3 $，
反比例函数的解析式为 $ y = -\frac{4}{x} $；
(3) 如图，设线段 $ AB $ 与 $ y $ 轴的交点为 $ C $，

∴ 点 $ C $ 的坐标为 $ (0,3) $，在线段 $ AB $ 上取一点 $ P $，连接 $ AO $，$ BO $，$ PO $，
∴ $ S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} × 3 × 1 = \frac{3}{2} $，
∴ $ S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC} + S_{\triangle BOC} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} × 3 × 4 = \frac{15}{2} $。
∵ $ S_{\triangle AOP} : S_{\triangle BOP} = 1 : 2 $，
∴ $ S_{\triangle AOP} = \frac{15}{2} × \frac{1}{3} = \frac{5}{2} $，
∴ $ S_{\triangle COP} = S_{\triangle AOP} - S_{\triangle AOC} = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} = 1 $，
∴ $ \frac{1}{2} × 3 × x_p = 1 $，
∴ $ x_p = \frac{2}{3} $。
∵ 点 $ P $ 在线段 $ AB $ 上，
∴ $ y_p = -\frac{2}{3} + 3 = \frac{7}{3} $，
∴ 点 $ P $ 的坐标为 $ (\frac{2}{3},\frac{7}{3}) $。