《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题1】科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出行,如图,小明一家自驾到古镇 $ C $ 游玩,到达 $ A $ 地后,导航显示车辆应沿北偏西 $ 60^{\circ} $ 方向行驶 4 千米至 $ B $ 地,再沿北偏东 $ 45^{\circ} $ 方向行驶一段距离到达古镇 $ C $,小明发现古镇 $ C $ 恰好在 $ A $ 地的正北方向.
(1) 求点 $ B $ 到 $ AC $ 的距离;
(2) 求 $ AC $ 的长度.

答案：
解:
(1)如图，过点B作$BD\perp AC$，垂足为D,
　　　　　　
　在$Rt\triangle ABD$中，$\angle BAD = 60^{\circ}$，$AB = 4$千米，
$\therefore BD = AB\cdot\sin60^{\circ}=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$(千米)，
$\therefore$点B到AC的距离为$2\sqrt{3}$千米;
(2)在$Rt\triangle ABD$中，$\angle BAD = 60^{\circ}$，$AB = 4$千米，
$\therefore AD = AB\cdot\cos60^{\circ}=4×\frac{1}{2}=2$(千米)，
在$Rt\triangle BCD$中，$\angle CBD = 90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$，$BD = 2\sqrt{3}$千米，
$\therefore CD = BD\cdot\tan45^{\circ}=2\sqrt{3}$(千米)，
$\therefore AC = AD + CD=(2 + 2\sqrt{3})$千米，
$\therefore AC$的长度为$(2 + 2\sqrt{3})$千米。

【变式1】(人教九下 P77 教材改编)如图,海中有一小岛 $ A $,它周围 4 海里内有暗礁,渔船由西向东航行,在 $ B $ 点测得小岛 $ A $ 在北偏东 $ 60^{\circ} $ 方向上,航行 6 海里到达 $ D $ 点,这时测得小岛 $ A $ 在北偏东 $ 30^{\circ} $ 方向上.
(1) 求 $ \angle BAD $ 的度数;
(2) 如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险?

答案：
解:
(1)如图，过点A作$AC\perp BD$，垂足为C，依题意得$NB// AC$，则$\angle NBA=\angle CAB = 60^{\circ}$，
　　　　　　
同理得$\angle CAD = 30^{\circ}$，即$\angle BAD=\angle CAB-\angle CAD = 30^{\circ}$;
(2)AC的长是A到BD的最短距离，
$\because\angle ABD = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$，
$\therefore\angle ABD=\angle BAD$，
$\therefore BD = AD = 6$(海里)。
$\because$在$Rt\triangle ACD$中，$\angle CAD = 30^{\circ}$，
$\therefore AC = AD\cdot\cos\angle CAD = 3\sqrt{3}＞4$，
$\therefore$没有危险。