《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.(2024·顺德区一模)综合与实践
主题:设计高速公路的隧道

答案：
综合与实践
1. 解：【问题 1】
∵ 每条车道的宽为 $ x $ m ($ 3.5 \leq x \leq 3.75 $)，
$ AM = A_1N = 1 $ m，
则 $ MN = 2x $ m，$ AA_1 = AM + A_1N + MN = (2x + 2) $ m.
∵ $ 3.5 \leq x \leq 3.75 $，
∴ $ 9 \leq 2x + 2 \leq 9.5 $.
∴ 将要修建的隧道宽度 ($ AA_1 $) 的合理范围为 $ 9 $ m $ \leq AA_1 \leq 9.5 $ m.
【问题 2】如图，取 $ AA_1 $ 中点为原点 $ O $，以 $ AA_1 $ 为 $ x $ 轴，建立平面直角坐标系，过点 $ N $ 作 $ NP \perp AA_1 $ 交抛物线于点 $ P $.
设抛物线的解析式为 $ y = ax^2 + c $.
∵ $ AA_1 = 9 $ m，
∴ $ OA_1 = \frac{1}{2}AA_1 = 4.5 $ (m)，$ ON = 4.5 - 1 = 3.5 $ (m).
又
∵ $ A_1B_1 = AB = 2.95 $ m，
∴ $ B_1(4.5, 2.95) $.
由题意，得 $ NP = 4 + 0.55 = 4.55 $ (m)，
∴ $ P(3.5, 4.55) $.
将 $ B_1(4.5, 2.95) $，$ P(3.5, 4.55) $ 代入 $ y = ax^2 + c $，得 $ \begin{cases} 2.95 = a \cdot 4.5^2 + c, \\ 4.55 = a \cdot 3.5^2 + c, \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} a = -\frac{1}{5}, \\ c = 7, \end{cases} $
∴ 抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{5}x^2 + 7 $.